Номер 278, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 278, страница 93.

Условие.

278 Выяснить, при каких значениях x существует логарифм:

1) $\log_{\frac{1}{2}}(4 - x);$

2) $\log_{0,2}(7 - x);$

3) $\log_6\frac{1}{1 - 2x};$

4) $\log_8\frac{5}{2x - 1};$

5) $\log_{\frac{1}{4}}(-x^2);$

6) $\log_{0,7}(-2x^3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Логарифм $\log_a b$ существует (определен), когда его основание $a$ больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а подлогарифмическое выражение $b$ строго больше нуля ($b > 0$). Во всех представленных задачах основания логарифмов являются числами, удовлетворяющими этим условиям. Поэтому для нахождения значений $x$, при которых существует логарифм, необходимо решить неравенство, в котором подлогарифмическое выражение больше нуля.

1) Для логарифма $\log_{\frac{1}{2}}(4-x)$ подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$4 - x > 0$
Перенесем $x$ в правую часть неравенства:
$4 > x$
Или $x < 4$.
Таким образом, логарифм существует при $x \in (-\infty; 4)$.
Ответ: $x < 4$.

2) Для логарифма $\log_{0,2}(7-x)$ подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$7 - x > 0$
Перенесем $x$ в правую часть неравенства:
$7 > x$
Или $x < 7$.
Таким образом, логарифм существует при $x \in (-\infty; 7)$.
Ответ: $x < 7$.

3) Для логарифма $\log_{6}\frac{1}{1-2x}$ подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$\frac{1}{1-2x} > 0$
Так как числитель дроби (1) является положительным числом, для того чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы и знаменатель был положительным:
$1 - 2x > 0$
Перенесем $2x$ в правую часть:
$1 > 2x$
Разделим обе части на 2:
$\frac{1}{2} > x$
Или $x < \frac{1}{2}$.
Таким образом, логарифм существует при $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.
Ответ: $x < \frac{1}{2}$.

4) Для логарифма $\log_{8}\frac{5}{2x-1}$ подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$\frac{5}{2x-1} > 0$
Так как числитель дроби (5) является положительным числом, для того чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы и знаменатель был положительным:
$2x - 1 > 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$2x > 1$
Разделим обе части на 2:
$x > \frac{1}{2}$.
Таким образом, логарифм существует при $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $x > \frac{1}{2}$.

5) Для логарифма $\log_{\frac{1}{4}}(-x^2)$ подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$-x^2 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство $x^2 < 0$ не имеет решений в области действительных чисел.
Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых данный логарифм существует.
Ответ: решений нет.

6) Для логарифма $\log_{0,7}(-2x^3)$ подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$-2x^3 > 0$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^3 < 0$
Куб числа отрицателен тогда и только тогда, когда само число отрицательно.
$x < 0$.
Таким образом, логарифм существует при $x \in (-\infty; 0)$.
Ответ: $x < 0$.