Номер 285, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 285, страница 93.

Условие.

Решить уравнение (285—287).

285 1) $2^x = 5$; 2) $1,2^x = 4$; 3) $4^{2x + 3} = 5$; 4) $7^{1 - 2x} = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано показательное уравнение $2^x = 5$.

Для нахождения $x$ воспользуемся определением логарифма: если $a^y = b$, то $y = \log_a b$. В данном случае $a=2$, $b=5$, $y=x$.

Применяя это определение, получаем:

$x = \log_2 5$.

Ответ: $x = \log_2 5$.

2) Дано показательное уравнение $1,2^x = 4$.

Решаем аналогично предыдущему пункту, используя определение логарифма. Здесь основание $a = 1,2$, а число $b = 4$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \log_{1,2} 4$.

Ответ: $x = \log_{1,2} 4$.

3) Дано показательное уравнение $4^{2x+3} = 5$.

По определению логарифма, показатель степени равен логарифму правой части по основанию левой части:

$2x + 3 = \log_4 5$.

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$.

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$2x = \log_4 5 - 3$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\log_4 5 - 3}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\log_4 5 - 3}{2}$.

4) Дано показательное уравнение $7^{1-2x} = 2$.

Применим определение логарифма, чтобы выразить показатель степени:

$1 - 2x = \log_7 2$.

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$.

Вычтем 1 из обеих частей:

$-2x = \log_7 2 - 1$.

Умножим обе части на -1:

$2x = 1 - \log_7 2$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{1 - \log_7 2}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1 - \log_7 2}{2}$.