Номер 287, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 287, страница 93.

Условие.

287 1) $(3^x + 2^x) (3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x;$

2) $(3 \cdot 5^x + 2,5 \cdot 3^x) (2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$.

Правая часть уравнения содержит $6^x$, что можно представить как $3^x \cdot 2^x$. Это указывает на то, что уравнение является однородным относительно показательных функций $3^x$ и $2^x$.

Разделим обе части уравнения на $6^x = 3^x \cdot 2^x$. Так как $6^x > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x)}{3^x \cdot 2^x} = 8$

Распределим знаменатель $3^x \cdot 2^x$ между двумя множителями в числителе. Разделим первый множитель на $2^x$, а второй на $3^x$:

$\frac{3^x + 2^x}{2^x} \cdot \frac{3^x + 3 \cdot 2^x}{3^x} = 8$

Упростим каждое из выражений, разделив почленно:

$\left(\frac{3^x}{2^x} + \frac{2^x}{2^x}\right) \cdot \left(\frac{3^x}{3^x} + \frac{3 \cdot 2^x}{3^x}\right) = 8$

$\left(\left(\frac{3}{2}\right)^x + 1\right) \cdot \left(1 + 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x\right) = 8$

Введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Тогда $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{1}{t}$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, имеем $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$(t + 1)\left(1 + \frac{3}{t}\right) = 8$

Решим это уравнение относительно $t$, приведя второй множитель к общему знаменателю:

$(t + 1)\frac{t+3}{t} = 8$

При условии $t \neq 0$ (что выполняется, так как $t>0$), домножим на $t$:

$(t + 1)(t + 3) = 8t$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 3t + t + 3 = 8t$

$t^2 + 4t + 3 = 8t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни легко найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 4$, $t_1 \cdot t_2 = 3$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны, поэтому оба являются решениями.

Выполним обратную замену для каждого из корней:

1. Если $t = 1$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в степени ноль равно единице, поэтому $x = 0$.

2. Если $t = 3$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_{\frac{3}{2}}(3)$.

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = \log_{\frac{3}{2}}(3)$.

2)

Исходное уравнение: $(3 \cdot 5^x + 2,5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x$.

Представим $2,5$ как $\frac{5}{2}$ и $15^x$ как $3^x \cdot 5^x$. Уравнение является однородным относительно $3^x$ и $5^x$.

Разделим обе части уравнения на $15^x = 3^x \cdot 5^x$. Так как $15^x > 0$ для любого $x$, это преобразование является равносильным:

$\frac{\left(3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x\right)\left(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x\right)}{3^x \cdot 5^x} = 8$

Распределим знаменатель: разделим первый множитель на $3^x$, а второй — на $5^x$.

$\frac{3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x}{3^x} \cdot \frac{2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x}{5^x} = 8$

$\left(3 \cdot \frac{5^x}{3^x} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3^x}{3^x}\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{3^x}{5^x} - 2 \cdot \frac{5^x}{5^x}\right) = 8$

$\left(3\left(\frac{5}{3}\right)^x + \frac{5}{2}\right) \cdot \left(2\left(\frac{3}{5}\right)^x - 2\right) = 8$

Введем замену. Пусть $t = \left(\frac{5}{3}\right)^x$. Тогда $\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.

Уравнение в новых переменных:

$\left(3t + \frac{5}{2}\right)\left(\frac{2}{t} - 2\right) = 8$

Решим его, приводя выражения в скобках к общему знаменателю:

$\frac{6t+5}{2} \cdot \frac{2-2t}{t} = 8$

$\frac{6t+5}{2} \cdot \frac{2(1-t)}{t} = 8$

Сократим на 2:

$\frac{(6t+5)(1-t)}{t} = 8$

Домножим на $t$ (где $t \neq 0$):

$(6t+5)(1-t) = 8t$

$6t - 6t^2 + 5 - 5t = 8t$

$-6t^2 + t + 5 = 8t$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-6t^2 - 7t + 5 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$6t^2 + 7t - 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

$t = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 13}{12}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-7+13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-7-13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$.

Так как по условию замены $t>0$, корень $t_2 = -\frac{5}{3}$ является посторонним. Единственное подходящее решение - это $t = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{1}{2}$

По определению логарифма, $x = \log_{\frac{5}{3}}\left(\frac{1}{2}\right)$.

Ответ: $x = \log_{\frac{5}{3}}\left(\frac{1}{2}\right)$.