Номер 295, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 295, страница 95.

Условие.

295 Вычислить $ \log_a x $, если $ \log_a b = 3 $, $ \log_a c = -2 $:

1) $ x = a^3 b^2 \sqrt{c} $

2) $ x = \frac{a^4 \sqrt[3]{b}}{c^3} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_a(M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$
• Логарифм частного: $\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$
• Логарифм степени: $\log_a(M^p) = p \cdot \log_a M$
• Основное свойство: $\log_a a = 1$

Нам даны следующие значения: $\log_a b = 3$ и $\log_a c = -2$.

1) $x = a^3b^2\sqrt{c}$

Для того чтобы вычислить $\log_a x$, прологарифмируем данное выражение по основанию $a$:

$\log_a x = \log_a (a^3b^2\sqrt{c})$

Используя свойство логарифма произведения, представим логарифм в виде суммы логарифмов:

$\log_a x = \log_a(a^3) + \log_a(b^2) + \log_a(\sqrt{c})$

Теперь применим свойство логарифма степени. Учтем, что $\sqrt{c} = c^{1/2}$.

$\log_a x = 3\log_a a + 2\log_a b + \frac{1}{2}\log_a c$

Подставим известные значения $\log_a a = 1$, $\log_a b = 3$ и $\log_a c = -2$ в полученное выражение:

$\log_a x = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot (-2) = 3 + 6 - 1 = 8$

Ответ: 8

2) $x = \frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}$

Прологарифмируем данное выражение по основанию $a$:

$\log_a x = \log_a \left(\frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}\right)$

Используя свойство логарифма частного, а затем свойство логарифма произведения, получим:

$\log_a x = \log_a(a^4\sqrt[3]{b}) - \log_a(c^3) = \log_a(a^4) + \log_a(\sqrt[3]{b}) - \log_a(c^3)$

Применим свойство логарифма степени. Учтем, что $\sqrt[3]{b} = b^{1/3}$.

$\log_a x = 4\log_a a + \frac{1}{3}\log_a b - 3\log_a c$

Подставим известные значения $\log_a a = 1$, $\log_a b = 3$ и $\log_a c = -2$:

$\log_a x = 4 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 4 + 1 - (-6) = 4 + 1 + 6 = 11$

Ответ: 11