Номер 305, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 305, страница 99.

Условие.

305 Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:

1) $log_5 3$;

2) $\lg 6$;

3) $\log_2 7$;

4) $\log_5 \frac{1}{3}$;

5) $\lg 7$;

6) $\log_3 7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы выразить данный логарифм через логарифм с другим основанием, используется формула перехода к новому основанию: $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $, где $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$, $c > 0$, $c \ne 1$.

В нашей задаче требуется перейти к основанию 7, то есть $ c = 7 $. Формула примет вид: $ \log_a b = \frac{\log_7 b}{\log_7 a} $.

1) Выразим $ \log_5 3 $ через логарифм с основанием 7.
В этом случае $ a = 5 $ и $ b = 3 $. Применяем формулу перехода к новому основанию:
$ \log_5 3 = \frac{\log_7 3}{\log_7 5} $.
Ответ: $ \frac{\log_7 3}{\log_7 5} $.

2) Выразим $ \lg 6 $ через логарифм с основанием 7.
Запись $ \lg 6 $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \lg 6 = \log_{10} 6 $.
Здесь $ a = 10 $ и $ b = 6 $. По формуле перехода:
$ \lg 6 = \frac{\log_7 6}{\log_7 10} $.
Ответ: $ \frac{\log_7 6}{\log_7 10} $.

3) Выразим $ \log_2 7 $ через логарифм с основанием 7.
Здесь $ a = 2 $ и $ b = 7 $. По формуле перехода:
$ \log_2 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 2} $.
Поскольку логарифм числа по тому же основанию равен 1 ($ \log_c c = 1 $), то $ \log_7 7 = 1 $.
Следовательно, $ \log_2 7 = \frac{1}{\log_7 2} $.
Ответ: $ \frac{1}{\log_7 2} $.

4) Выразим $ \log_5 \frac{1}{3} $ через логарифм с основанием 7.
Здесь $ a = 5 $ и $ b = \frac{1}{3} $. По формуле перехода:
$ \log_5 \frac{1}{3} = \frac{\log_7 (\frac{1}{3})}{\log_7 5} $.
Используем свойство логарифма $ \log_c (x^{-1}) = -\log_c x $. Так как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, то $ \log_7 (\frac{1}{3}) = -\log_7 3 $.
Таким образом, $ \log_5 \frac{1}{3} = \frac{-\log_7 3}{\log_7 5} = -\frac{\log_7 3}{\log_7 5} $.
Ответ: $ -\frac{\log_7 3}{\log_7 5} $.

5) Выразим $ \lg 7 $ через логарифм с основанием 7.
$ \lg 7 = \log_{10} 7 $. Здесь $ a = 10 $ и $ b = 7 $. По формуле перехода:
$ \log_{10} 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 10} $.
Так как $ \log_7 7 = 1 $, получаем:
$ \lg 7 = \frac{1}{\log_7 10} $.
Ответ: $ \frac{1}{\log_7 10} $.

6) Выразим $ \log_3 7 $ через логарифм с основанием 7.
Здесь $ a = 3 $ и $ b = 7 $. По формуле перехода:
$ \log_3 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 3} $.
Так как $ \log_7 7 = 1 $, получаем:
$ \log_3 7 = \frac{1}{\log_7 3} $.
Ответ: $ \frac{1}{\log_7 3} $.