Номер 308, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 308, страница 99.

Условие.

308 Дано: $ \log_7 2 = m $. Найти: $ \log_{49} 28 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи нам необходимо выразить $\log_{49} 28$ через $m = \log_7 2$. Для этого мы будем использовать свойства логарифмов, в частности, формулу перехода к новому основанию.

1. Переход к основанию 7. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Применим ее к нашему выражению, выбрав в качестве нового основания $c=7$: $\log_{49} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49}$

2. Преобразование числителя. Упростим числитель $\log_7 28$. Разложим число 28 на простые множители: $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$. Теперь используем свойства логарифма произведения ($\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$) и логарифма степени ($\log_a(x^k) = k \log_a x$): $\log_7 28 = \log_7 (2^2 \cdot 7) = \log_7(2^2) + \log_7 7$ Мы знаем, что $\log_7 7 = 1$, а $\log_7(2^2) = 2\log_7 2$. Таким образом, числитель принимает вид: $2\log_7 2 + 1$ По условию задачи $\log_7 2 = m$, следовательно, числитель равен $2m + 1$.

3. Преобразование знаменателя. Упростим знаменатель $\log_7 49$. Поскольку $49 = 7^2$, то: $\log_7 49 = \log_7(7^2) = 2\log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2$

4. Получение конечного выражения. Подставим найденные значения числителя и знаменателя в формулу из шага 1: $\log_{49} 28 = \frac{2m + 1}{2}$

Ответ: $\frac{2m+1}{2}$