Номер 315, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 17. Десятичные и натуральные логарифмы - номер 315, страница 99.

Условие.

315 Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно на $8\%$. Через сколько лет число жителей удвоится?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов. Пусть $N_0$ — начальное число жителей города. Каждый год это число увеличивается на 8%, то есть умножается на коэффициент $1 + \frac{8}{100} = 1.08$.

Число жителей $N_n$ через $n$ лет будет равно: $N_n = N_0 \cdot (1.08)^n$

Нам необходимо найти количество лет $n$, через которое число жителей удвоится. Это означает, что $N_n$ должно стать равным $2N_0$. Подставим это условие в нашу формулу: $2N_0 = N_0 \cdot (1.08)^n$

Так как начальное число жителей $N_0$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $N_0$: $2 = (1.08)^n$

Чтобы найти показатель степени $n$, нужно решить это показательное уравнение. Для этого прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать натуральный логарифм (ln): $\ln(2) = \ln((1.08)^n)$

По свойству логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, вынесем $n$ из-под знака логарифма: $\ln(2) = n \cdot \ln(1.08)$

Теперь выразим $n$: $n = \frac{\ln(2)}{\ln(1.08)}$

Для вычисления используем калькулятор. Приблизительные значения логарифмов: $\ln(2) \approx 0.6931$ и $\ln(1.08) \approx 0.07696$. $n \approx \frac{0.6931}{0.07696} \approx 9.006$

Полученный результат означает, что для удвоения числа жителей потребуется чуть больше 9 лет. Так как результат очень близок к целому числу, в ответе можно указать приближенное значение.

Для быстрой оценки можно также использовать "правило 72". Согласно этому правилу, для нахождения срока удвоения нужно разделить число 72 на годовой процент роста: $72 \div 8 = 9$ лет. Этот метод дает хорошую аппроксимацию, подтверждающую наш расчет.

Ответ: Число жителей удвоится примерно через 9 лет.