Номер 321, страница 103 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 321, страница 103.

Условие.

321 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1) $y = \log_{0,075} x$;

2) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$;

3) $y = \lg x$;

4) $y = \ln x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения, является ли логарифмическая функция $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения ($x>0$).
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения ($x>0$).

1) $y = \log_{0,075} x$

Основание данного логарифма $a = 0,075$.

Сравним основание с единицей: $0 < 0,075 < 1$.

Поскольку основание логарифма находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$

Основание данного логарифма $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сравним основание с единицей. Для этого сравним числитель $\sqrt{3}$ и знаменатель $2$.

Возведем оба числа в квадрат, чтобы избавиться от корня: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.

Так как $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$.

Следовательно, дробь $\frac{\sqrt{3}}{2}$ меньше 1. При этом она положительна.

Таким образом, основание $a$ удовлетворяет условию $0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$.

Поскольку основание логарифма находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

3) $y = \lg x$

Запись $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $y = \log_{10} x$.

Основание данного логарифма $a = 10$.

Сравним основание с единицей: $10 > 1$.

Поскольку основание логарифма больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

4) $y = \ln x$

Запись $\ln x$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$ (число Эйлера). Таким образом, $y = \log_e x$.

Основание данного логарифма $a = e$.

Число Эйлера $e$ является иррациональным числом, приблизительное значение которого $e \approx 2,718$.

Сравним основание с единицей: $e > 1$.

Поскольку основание логарифма больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.