Номер 326, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 326, страница 104.

Условие.

326 1) $log_3 x < 2;$

2) $log_{0,4} x > 2;$

3) $log_{\frac{1}{2}} x \geq 16;$

4) $log_{0,4} x \leq 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения неравенства $\log_3 x < 2$ необходимо учесть два условия: область допустимых значений (ОДЗ) и свойство монотонности логарифмической функции.
1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, т.е. $x > 0$.
2. Решение неравенства: Основание логарифма $a=3$ больше 1, поэтому логарифмическая функция $y=\log_3 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.
Исходное неравенство можно переписать как $\log_3 x < \log_3 9$.
Так как функция возрастающая, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется: $x < 9$.
3. Объединяем результат с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x < 9 \end{cases}$.
Решением системы является интервал $0 < x < 9$.
Ответ: $(0; 9)$.

2) Решим неравенство $\log_{0.4} x > 2$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Решение неравенства: Основание логарифма $a=0.4$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_{0.4} x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Представим $2$ в виде логарифма с основанием 0.4: $2 = \log_{0.4} 0.4^2 = \log_{0.4} 0.16$.
Неравенство принимает вид $\log_{0.4} x > \log_{0.4} 0.16$.
Так как функция убывающая, переходим к аргументам, меняя знак неравенства: $x < 0.16$.
3. Объединяем результат с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x < 0.16 \end{cases}$.
Решением является интервал $0 < x < 0.16$.
Ответ: $(0; 0.16)$.

3) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x \ge 16$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Решение неравенства: Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. По определению логарифма, неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x \ge 16$ эквивалентно неравенству $x \le (\frac{1}{2})^{16}$ (знак изменился).
Вычислим правую часть: $(\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{65536}$.
Таким образом, получаем $x \le \frac{1}{65536}$.
3. Объединяем результат с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{65536} \end{cases}$.
Решением является полуинтервал $0 < x \le \frac{1}{65536}$.
Ответ: $(0; \frac{1}{65536}]$.

4) Решим неравенство $\log_{0.4} x \le 2$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Решение неравенства: Основание логарифма $a=0.4$ меньше 1, поэтому функция является убывающей. Знак неравенства при переходе к аргументам изменится на противоположный. Представим правую часть в виде логарифма: $2 = \log_{0.4} 0.4^2 = \log_{0.4} 0.16$.
Неравенство принимает вид $\log_{0.4} x \le \log_{0.4} 0.16$.
Переходим к аргументам, меняя знак неравенства: $x \ge 0.16$.
3. Объединяем результат с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x \ge 0.16 \end{cases}$.
Пересечение этих условий дает $x \ge 0.16$.
Ответ: $[0.16; +\infty)$.