Номер 328, страница 104 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 328, страница 104.

Условие.

328 Найти область определения функции:

1) $y = \log_4 (x - 1);$

2) $y = \log_{0.3} (1 + x);$

3) $y = \log_3 (x^2 + 2x);$

4) $y = \log_{\sqrt{2}} (4 - x^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \log_4 (x - 1)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.

В данном случае аргумент функции равен $(x - 1)$. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$x - 1 > 0$

Прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это интервал от 1 до плюс бесконечности, не включая 1.

Ответ: $(1; +\infty)$

2) $y = \log_{0.3} (1 + x)$

Аналогично предыдущему пункту, находим область определения из условия, что аргумент логарифма больше нуля:

$1 + x > 0$

Вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем:

$x > -1$

Область определения функции — это все числа, строго большие -1.

Ответ: $(-1; +\infty)$

3) $y = \log_3 (x^2 + 2x)$

Условие для нахождения области определения:

$x^2 + 2x > 0$

Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны (то есть график находится выше оси Ox) при $x$, находящихся за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 0$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$

4) $y = \log_{\sqrt{2}} (4 - x^2)$

Условие для нахождения области определения:

$4 - x^2 > 0$

Решим это квадратичное неравенство. Можно переписать его как $x^2 < 4$.

Найдем корни уравнения $4 - x^2 = 0$:

$(2 - x)(2 + x) = 0$

Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Значения функции положительны (график выше оси Ox) между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-2 < x < 2$.

Ответ: $(-2; 2)$