Номер 334, страница 105 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 334, страница 105.

Условие.

334 Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:

1) $y = |\log_3 x|;$

2) $y = \log_3 |x|;$

3) $y = \log_2 |3 - x|;$

4) $y = |1 - \log_2 x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = |\log_3 x|$

Построение графика: График функции $y = |\log_3 x|$ строится на основе графика $y_0 = \log_3 x$. Сначала строим график $y_0 = \log_3 x$, который является возрастающей функцией, определенной при $x > 0$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и пересечением с осью Ox в точке $(1, 0)$. Затем, так как мы берем модуль от всей функции, та часть графика $y_0$, которая лежит ниже оси Ox (для $0 < x < 1$), отражается симметрично относительно оси Ox. Часть графика, лежащая на и выше оси Ox (для $x \ge 1$), остается неизменной. В итоге получаем график с "изломом" в точке $(1, 0)$.

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
$D(y) = (0, +\infty)$.

Множество значений: Поскольку $\log_3 x$ принимает все действительные значения (от $-\infty$ до $+\infty$), $y = |\log_3 x|$ будет принимать все неотрицательные значения.
$E(y) = [0, +\infty)$.

Промежутки монотонности:На промежутке $(0, 1]$ график соответствует функции $y = -\log_3 x$, которая является убывающей.На промежутке $[1, +\infty)$ график соответствует функции $y = \log_3 x$, которая является возрастающей.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0, +\infty)$, множество значений $E(y) = [0, +\infty)$, функция убывает на $(0, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$.

2) $y = \log_3 |x|$

Построение графика: Данная функция является четной, так как $y(-x) = \log_3 |-x| = \log_3 |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \log_3 x$. Строим эту часть графика.Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, с общей вертикальной асимптотой $x=0$.

Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.
$D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Множество значений: Для $x > 0$ функция $y = \log_3 x$ принимает все действительные значения. Так как ветвь для $x<0$ является ее отражением, она также покрывает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Промежутки монотонности:На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \log_3 x$ возрастает.На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = \log_3(-x)$ убывает (так как является зеркальным отражением возрастающей функции).
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$, функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$.

3) $y = \log_2 |3 - x|$

Построение графика: Преобразуем функцию: $y = \log_2 |3 - x| = \log_2 |-(x-3)| = \log_2 |x-3|$.Этот график можно получить из графика функции $y_0 = \log_2 |x|$ (аналогичной функции из пункта 2) сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.График $y_0 = \log_2|x|$ симметричен относительно оси Oy и имеет асимптоту $x=0$.Следовательно, график функции $y = \log_2 |x-3|$ будет симметричен относительно прямой $x=3$ и будет иметь вертикальную асимптоту $x=3$.

Область определения: Аргумент логарифма $|3 - x|$ должен быть строго положителен: $|3 - x| > 0$, что означает $3-x \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
$D(y) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Множество значений: Выражение $|3-x|$ принимает все положительные значения. Логарифм от всех положительных чисел дает все действительные числа.
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Промежутки монотонности:Функция $y_0 = \log_2 |x|$ убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. Сдвиг на 3 единицы вправо смещает и промежутки монотонности.
Следовательно, функция $y = \log_2 |x-3|$ убывает на промежутке $(-\infty, 3)$ и возрастает на промежутке $(3, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$, функция убывает на $(-\infty, 3)$ и возрастает на $(3, +\infty)$.

4) $y = |1 - \log_2 x|$

Построение графика: Так как $|a| = |-a|$, то $y = |1 - \log_2 x| = |-(\log_2 x - 1)| = |\log_2 x - 1|$.Построение выполняется в несколько шагов:1. Строим график $y_1 = \log_2 x$.2. Сдвигаем его на 1 единицу вниз, чтобы получить график $y_2 = \log_2 x - 1$. Этот график пересекает ось Ox в точке, где $\log_2 x = 1$, то есть $x=2$.3. Применяем операцию модуля: часть графика $y_2$, лежащую ниже оси Ox (на интервале $0 < x < 2$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Часть, лежащую выше или на оси (при $x \ge 2$), оставляем без изменений.График имеет "излом" в точке $(2, 0)$ и вертикальную асимптоту $x=0$.

Область определения: Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
$D(y) = (0, +\infty)$.

Множество значений: Функция $1 - \log_2 x$ принимает все действительные значения. Модуль этой функции будет принимать все неотрицательные значения.
$E(y) = [0, +\infty)$.

Промежутки монотонности:На промежутке $(0, 2]$ функция равна $y = 1 - \log_2 x$, она убывает.На промежутке $[2, +\infty)$ функция равна $y = \log_2 x - 1$, она возрастает.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(0, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0, +\infty)$, множество значений $E(y) = [0, +\infty)$, функция убывает на $(0, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$.