Номер 333, страница 105 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 18. Логарифмическая функция, её свойства и график - номер 333, страница 105.

Условие.

333 Решить графически уравнение:

1) $\log_2 x = -x + 1$;

2) $\log_{\frac{1}{2}} x = 2x - 5$;

3) $\lg x = \sqrt{x}$;

4) $\lg x = 2^{-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения уравнения $ \log_2 x = -x + 1 $ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \log_2 x $ и $ y = -x + 1 $.

Функция $ y = \log_2 x $ — это логарифмическая функция с основанием 2. Её область определения $ x > 0 $. Функция возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.

Функция $ y = -x + 1 $ — это линейная функция, её график — прямая. Прямая убывает и проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки $(1, 0)$. Проверим, подставив $ x = 1 $ в исходное уравнение:

$ \log_2 1 = 0 $

$ -1 + 1 = 0 $

$ 0 = 0 $

Так как логарифмическая функция $ y = \log_2 x $ является строго возрастающей, а линейная функция $ y = -x + 1 $ — строго убывающей, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, $ x = 1 $ — единственный корень уравнения.

Ответ: $ x = 1 $

2) Для решения уравнения $ \log_{\frac{1}{2}} x = 2x - 5 $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ и $ y = 2x - 5 $.

Функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ — логарифмическая функция с основанием $ \frac{1}{2} $. Область определения $ x > 0 $. Так как основание $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, функция является убывающей. График проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.

Функция $ y = 2x - 5 $ — линейная функция, её график — возрастающая прямая. График проходит через точки $(2.5, 0)$, $(2, -1)$, $(3, 1)$.

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из ключевых точек видно, что это точка $(2, -1)$. Проверим, подставив $ x = 2 $ в исходное уравнение:

$ \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 $

$ 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1 $

$ -1 = -1 $

Так как функция $ y = \log_{\frac{1}{2}} x $ строго убывающая, а функция $ y = 2x - 5 $ строго возрастающая, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Таким образом, $ x = 2 $ — единственный корень.

Ответ: $ x = 2 $

3) Для решения уравнения $ \lg x = \sqrt{x} $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \lg x $ и $ y = \sqrt{x} $.

Функция $ y = \lg x $ (десятичный логарифм) — логарифмическая функция с основанием 10. Область определения $ x > 0 $. Функция возрастающая, проходит через точки $(1, 0)$ и $(10, 1)$.

Функция $ y = \sqrt{x} $ — степенная функция. Область определения $ x \ge 0 $. Функция возрастающая, проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Рассмотрим поведение графиков на общей области определения $ x > 0 $.

При $ 0 < x < 1 $: $ \lg x < 0 $, а $ \sqrt{x} > 0 $. Следовательно, на этом интервале $ \sqrt{x} > \lg x $ и пересечений нет.

При $ x = 1 $: $ \lg 1 = 0 $, а $ \sqrt{1} = 1 $. Пересечения нет.

При $ x > 1 $: обе функции возрастают. Однако, можно показать, что для всех $ x > 0 $ выполняется неравенство $ \sqrt{x} \ge \lg x $, и равенство никогда не достигается. Например, при $ x = 10 $, $ \lg 10 = 1 $, а $ \sqrt{10} \approx 3.16 $; при $ x = 100 $, $ \lg 100 = 2 $, а $ \sqrt{100} = 10 $. График функции $ y = \sqrt{x} $ всегда лежит выше графика $ y = \lg x $.

Поскольку графики функций не имеют точек пересечения, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

4) Для решения уравнения $ \lg x = 2^{-x} $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \lg x $ и $ y = 2^{-x} $.

Функция $ y = \lg x $ — возрастающая логарифмическая функция (основание 10). Область определения $ x > 0 $. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $ y = 2^{-x} $, которую можно записать как $ y = (\frac{1}{2})^x $, — убывающая показательная функция. Область определения — все действительные числа. График проходит через точку $(0, 1)$.

Построим графики. На области $ x > 0 $ функция $ y = \lg x $ строго возрастает от $ -\infty $ до $ +\infty $, а функция $ y = 2^{-x} $ строго убывает от 1 до 0.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься только в одной точке. Абсцисса этой точки и будет единственным решением уравнения.

Найдем примерное положение корня, сравнив значения функций в некоторых точках:
При $ x = 1 $, $ y = \lg 1 = 0 $ и $ y = 2^{-1} = 0.5 $. Видим, что $ \lg 1 < 2^{-1} $.
При $ x = 2 $, $ y = \lg 2 \approx 0.301 $ и $ y = 2^{-2} = 0.25 $. Видим, что $ \lg 2 > 2^{-2} $.

Так как на отрезке $[1, 2]$ непрерывные функции поменяли свои относительные положения ($f(1) < g(1)$ и $f(2) > g(2)$), то между 1 и 2 существует точка их пересечения. Ввиду монотонности функций, эта точка единственная. Графический метод позволяет установить, что уравнение имеет один корень.

Ответ: уравнение имеет один корень