Номер 338, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 338, страница 108.

Условие.

338 1) $lg (x - 1) - lg (2x - 11) = lg 2;$

2) $lg (3x - 1) - lg (x + 5) = lg 5;$

3) $log_3 (x^3 - x) - log_3 x = log_3 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $lg(x - 1) - lg(2x - 11) = lg 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2x - 11 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ 2x > 11 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ x > 5.5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 5.5$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$:
$lg(\frac{x - 1}{2x - 11}) = lg 2$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{x - 1}{2x - 11} = 2$
$x - 1 = 2(2x - 11)$
$x - 1 = 4x - 22$
$4x - x = 22 - 1$
$3x = 21$
$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $7 > 5.5$, корень подходит.
Ответ: $7$.

2) Решим уравнение $lg(3x - 1) - lg(x + 5) = lg 5$.

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > 1 \\ x > -5 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$.

Применяем свойство разности логарифмов:
$lg(\frac{3x - 1}{x + 5}) = lg 5$

Приравниваем аргументы:
$\frac{3x - 1}{x + 5} = 5$
$3x - 1 = 5(x + 5)$
$3x - 1 = 5x + 25$
$5x - 3x = -1 - 25$
$2x = -26$
$x = -13$

Проверим корень по ОДЗ. Условие $x > \frac{1}{3}$ не выполняется, так как $-13 < \frac{1}{3}$. Следовательно, найденный корень является посторонним, и уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Решим уравнение $log_3(x^3 - x) - log_3(x) = log_3(3)$.

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^3 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
Рассмотрим первое неравенство: $x(x^2 - 1) > 0 \implies x(x - 1)(x + 1) > 0$.
Учитывая второе условие $x > 0$, нам нужно, чтобы произведение $(x - 1)(x + 1)$ было положительным. Так как $x+1$ всегда положительно при $x > 0$, то и $x - 1$ должно быть положительным: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 1$.

Применяем свойство разности логарифмов:
$log_3(\frac{x^3 - x}{x}) = log_3(3)$

Приравниваем аргументы:
$\frac{x^3 - x}{x} = 3$
$\frac{x(x^2 - 1)}{x} = 3$
Поскольку по ОДЗ $x > 1$, то $x \ne 0$, и мы можем сократить на $x$:
$x^2 - 1 = 3$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x = 2$ удовлетворяет условию. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $2$.