Номер 342, страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 342, страница 108.

Условие.

342 Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x^2 y - 2y + 9 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических функций определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$. Получаем $\lg \frac{x}{y} = 2$. По определению десятичного логарифма, это означает, что $\frac{x}{y} = 10^2$, или $\frac{x}{y} = 100$. Отсюда выразим $x$ через $y$: $x = 100y$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $x - 10y = 900$:

$100y - 10y = 900$

$90y = 900$

$y = \frac{900}{90} = 10$

Найденное значение $y=10$ удовлетворяет ОДЗ. Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 100y = 100 \cdot 10 = 1000$

Значение $x=1000$ также удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, решение системы - пара чисел $(1000; 10)$.

Проверка:

$\lg(1000) - \lg(10) = 3 - 1 = 2$.

$1000 - 10 \cdot 10 = 1000 - 100 = 900$.

Оба уравнения верны.

Ответ: $(1000; 10)$

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x^2y - 2y + 9 = 0. \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$. Получаем $\log_3(xy) = 2$. По определению логарифма, это означает, что $xy = 3^2$, или $xy = 9$.

Выразим из этого уравнения $y$ через $x$: $y = \frac{9}{x}$ (это возможно, так как по ОДЗ $x \ne 0$). Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2y - 2y + 9 = 0$:

$x^2 \left(\frac{9}{x}\right) - 2\left(\frac{9}{x}\right) + 9 = 0$

$9x - \frac{18}{x} + 9 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (по ОДЗ $x \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:

$9x^2 + 9x - 18 = 0$

Разделим все уравнение на 9:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Сравним корни с ОДЗ ($x > 0$). Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Найдем соответствующее значение $y$ для $x = 1$:

$y = \frac{9}{x} = \frac{9}{1} = 9$

Значение $y=9$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$). Таким образом, решение системы - пара чисел $(1; 9)$.

Проверка:

$\log_3(1) + \log_3(9) = 0 + 2 = 2$.

$(1)^2 \cdot 9 - 2 \cdot 9 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$.

Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 9)$