Номер 346, страница 109 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 346, страница 109.

Условие.

346 Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:

1) $2^{3x+1} = 2^{-3}$ и $3x+1 = -3$;

2) $\log_3 (x-1) = 2$ и $x-1 = 9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Первое уравнение $2^{3x + 1} = 2^{-3}$ является показательным. В силу того, что показательная функция $y=a^t$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) является строго монотонной, равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ выполняется тогда и только тогда, когда равны показатели степеней: $f(x) = g(x)$.
Таким образом, переход от уравнения $2^{3x + 1} = 2^{-3}$ к уравнению $3x + 1 = -3$ является равносильным преобразованием. Области определения выражений $3x+1$ и $-3$ — все действительные числа, поэтому при таком переходе не происходит ни потери, ни приобретения посторонних корней.
Следовательно, множества решений этих двух уравнений совпадают, а значит, они равносильны.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

2) Рассмотрим уравнения $\log_3 (x - 1) = 2$ и $x - 1 = 9$.
Первое уравнение является логарифмическим. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 1 > 0$.
По определению логарифма, уравнение $\log_a f(x) = c$ можно преобразовать в уравнение $f(x) = a^c$. Применив это правило к первому уравнению, получим: $x - 1 = 3^2$, что тождественно второму уравнению $x - 1 = 9$.
Проверим, является ли это преобразование равносильным. Любое решение второго уравнения $x-1=9$ означает, что значение выражения $x-1$ равно 9. Так как $9>0$, то условие ОДЗ ($x-1>0$) для первого уравнения выполняется автоматически. Таким образом, любое решение второго уравнения является решением и первого. И наоборот, любое решение первого уравнения по определению логарифма является решением второго.
Множества решений этих уравнений совпадают, следовательно, они равносильны.
Ответ: Да, уравнения равносильны.