Номер 350, страница 109 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 19. Логарифмические уравнения - номер 350, страница 109.

Условие.

350 1) $lg (6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x) - lg 25 = x;$

2) $lg (2^x + x + 4) = x - x lg 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $ \lg (6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x) - \lg 25 = x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $ 6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x > 0 $.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $ \lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b} $:

$ \lg \frac{6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x}{25} = x $

По определению десятичного логарифма ($ \lg a = b \Leftrightarrow a = 10^b $), мы можем записать:

$ \frac{6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x}{25} = 10^x $

Умножим обе части уравнения на 25:

$ 6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x = 25 \cdot 10^x $

Чтобы решить это показательное уравнение, представим $ 20^x $ и $ 10^x $ через степени с основаниями 2 и 5:

$ 20^x = (4 \cdot 5)^x = 4^x \cdot 5^x = (2^2)^x \cdot 5^x = 2^{2x} \cdot 5^x $

$ 10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ 6 \cdot 5^x - 25 \cdot (2^{2x} \cdot 5^x) = 25 \cdot (2^x \cdot 5^x) $

Поскольку $ 5^x > 0 $ для любого действительного $ x $, мы можем разделить обе части уравнения на $ 5^x $:

$ 6 - 25 \cdot 2^{2x} = 25 \cdot 2^x $

Перепишем $ 2^{2x} $ как $ (2^x)^2 $ и перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 25 \cdot (2^x)^2 + 25 \cdot 2^x - 6 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = 2^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ y > 0 $.

$ 25y^2 + 25y - 6 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ y $ с помощью формулы для корней:

$ D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225 = 35^2 $

$ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 \pm 35}{2 \cdot 25} = \frac{-25 \pm 35}{50} $

Находим два корня для $ y $:

$ y_1 = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} $

$ y_2 = \frac{-25 - 35}{50} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5} $

Корень $ y_2 = -6/5 $ не удовлетворяет условию $ y > 0 $, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к замене $ y = 2^x $ для единственного подходящего корня $ y_1 = 1/5 $:

$ 2^x = \frac{1}{5} $

Чтобы найти $ x $, прологарифмируем обе части по основанию 2:

$ \log_2(2^x) = \log_2(\frac{1}{5}) $

$ x = \log_2(5^{-1}) = -\log_2 5 $

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $ 6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x > 0 $. Ранее мы упростили это неравенство до $ 6 - 25 \cdot 4^x > 0 $.

Из решения $ 2^x = 1/5 $ следует, что $ 4^x = (2^x)^2 = (1/5)^2 = 1/25 $.

Подставляем это значение в неравенство:

$ 6 - 25 \cdot \frac{1}{25} > 0 \Rightarrow 6 - 1 > 0 \Rightarrow 5 > 0 $

Неравенство верное, значит, корень $ x = -\log_2 5 $ является решением уравнения.

Ответ: $ -\log_2 5 $.

2) Исходное уравнение: $ \lg (2^x + x + 4) = x - x \lg 5 $.

ОДЗ определяется условием $ 2^x + x + 4 > 0 $.

Рассмотрим правую часть уравнения и преобразуем её, вынеся $ x $ за скобки:

$ x - x \lg 5 = x(1 - \lg 5) $

Используем основное логарифмическое тождество, представив $ 1 $ как $ \lg 10 $:

$ x(\lg 10 - \lg 5) = x \lg \frac{10}{5} = x \lg 2 $

Применим свойство логарифма $ c \lg a = \lg a^c $:

$ x \lg 2 = \lg (2^x) $

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$ \lg (2^x + x + 4) = \lg (2^x) $

Так как основания логарифмов одинаковы и логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма:

$ 2^x + x + 4 = 2^x $

Вычтем $ 2^x $ из обеих частей уравнения:

$ x + 4 = 0 $

$ x = -4 $

Выполним проверку, подставив найденный корень в неравенство ОДЗ $ 2^x + x + 4 > 0 $.

Подставим $ x = -4 $:

$ 2^{-4} + (-4) + 4 = \frac{1}{2^4} - 4 + 4 = \frac{1}{16} $

Так как $ \frac{1}{16} > 0 $, условие ОДЗ выполнено, и корень $ x = -4 $ является решением.

Ответ: $ -4 $.