Номер 355, страница 111 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 20. Логарифмические неравенства - номер 355, страница 111.

Условие.

Решить неравенство (355–357).

355 1) $\log_3 (x + 2) < 3;$

2) $\log_8 (4 - 2x) \ge 2;$

3) $\log_3 (x + 1) < -2;$

4) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge -2;$

5) $\log_{\frac{1}{5}} (4 - 3x) \ge -1;$

6) $\log_{\frac{2}{3}} (2 - 5x) < -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_3(x+2) < 3$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля (область допустимых значений, ОДЗ). Во-вторых, так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям под логарифмом.

$\log_3(x+2) < 3 \iff \begin{cases} x+2 > 0 \\ x+2 < 3^3 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} x > -2 \\ x+2 < 27 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -2 \\ x < 25 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $x \in (-2; 25)$.

Ответ: $(-2; 25)$

2) $\log_8(4-2x) \ge 2$

Находим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным.

$4 - 2x > 0 \implies -2x > -4 \implies x < 2$.

Основание логарифма $8 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$\log_8(4-2x) \ge 2 \iff \log_8(4-2x) \ge \log_8(8^2) \iff 4-2x \ge 64$.

Решаем полученное неравенство:

$-2x \ge 64 - 4 \implies -2x \ge 60$.

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -30$.

Объединяем с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x < 2 \\ x \le -30 \end{cases}$

Решением системы является $x \le -30$.

Ответ: $(-\infty; -30]$

3) $\log_3(x+1) < -2$

ОДЗ: $x+1 > 0 \implies x > -1$.

Основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$\log_3(x+1) < -2 \iff \log_3(x+1) < \log_3(3^{-2}) \iff x+1 < 3^{-2}$.

$x+1 < \frac{1}{9} \implies x < \frac{1}{9} - 1 \implies x < -\frac{8}{9}$.

Составим систему из ОДЗ и полученного решения:

$\begin{cases} x > -1 \\ x < -\frac{8}{9} \end{cases}$

Решением системы является интервал $-1 < x < -\frac{8}{9}$.

Ответ: $(-1; -\frac{8}{9})$

4) $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \ge -2$

ОДЗ: $x-1 > 0 \implies x > 1$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \ge -2 \iff \log_{\frac{1}{3}}(x-1) \ge \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) \iff x-1 \le (\frac{1}{3})^{-2}$.

$x-1 \le 3^2 \implies x-1 \le 9 \implies x \le 10$.

Составим систему:

$\begin{cases} x > 1 \\ x \le 10 \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $1 < x \le 10$.

Ответ: $(1; 10]$

5) $\log_{\frac{1}{5}}(4-3x) \ge -1$

ОДЗ: $4-3x > 0 \implies -3x > -4 \implies x < \frac{4}{3}$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{5}$, где $0 < a < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_{\frac{1}{5}}(4-3x) \ge -1 \iff 4-3x \le (\frac{1}{5})^{-1}$.

$4-3x \le 5 \implies -3x \le 1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.

Составим систему:

$\begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x \ge -\frac{1}{3} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $-\frac{1}{3} \le x < \frac{4}{3}$.

Ответ: $[-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$

6) $\log_{\frac{2}{3}}(2-5x) < -2$

ОДЗ: $2-5x > 0 \implies -5x > -2 \implies x < \frac{2}{5}$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$, где $0 < a < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_{\frac{2}{3}}(2-5x) < -2 \iff 2-5x > (\frac{2}{3})^{-2}$.

$2-5x > (\frac{3}{2})^2 \implies 2-5x > \frac{9}{4} \implies -5x > \frac{9}{4} - 2 \implies -5x > \frac{1}{4}$.

Делим на -5 и меняем знак неравенства:

$x < -\frac{1}{20}$.

Составим систему:

$\begin{cases} x < \frac{2}{5} \\ x < -\frac{1}{20} \end{cases}$

Так как $-\frac{1}{20} < \frac{2}{5}$ (поскольку $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$), то решением системы является $x < -\frac{1}{20}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{20})$