Номер 354, страница 111 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 20. Логарифмические неравенства - номер 354, страница 111.

Условие.

354 Найти область определения функции:

1) $y = \lg (3x - 2);$

2) $y = \log_2 (7 - 5x);$

3) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 2);$

4) $y = \log_7 (4 - x^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ — это множество всех значений $x$, для которых выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице, что выполняется во всех данных случаях.

1) $y = \lg(3x - 2)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (по основанию 10). Область определения функции находится из условия:

$3x - 2 > 0$

Решим это линейное неравенство:

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые строго больше $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

2) $y = \log_2(7 - 5x)$

Область определения функции находится из условия:

$7 - 5x > 0$

Решим это линейное неравенство:

$7 > 5x$

$5x < 7$

$x < \frac{7}{5}$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые строго меньше $\frac{7}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{5})$.

3) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2)$

Область определения функции находится из условия:

$x^2 - 2 > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2 = 0$:

$x^2 = 2$

$x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 2$ принимает положительные значения при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.

То есть, при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

4) $y = \log_7(4 - x^2)$

Область определения функции находится из условия:

$4 - x^2 > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $4 - x^2 = 0$:

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$

Графиком функции $f(x) = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, выражение $4 - x^2$ принимает положительные значения при $x$, находящихся внутри интервала между корнями.

То есть, при $-2 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.