Номер 360, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 20. Логарифмические неравенства - номер 360, страница 112.

Условие.

360 1) $log_8 (x^2 - 4x + 3) < 1;$

2) $log_6 (x^2 - 3x + 2) \ge 1;$

3) $log_3 (x^2 + 2x) > 1;$

4) $log_{\frac{2}{3}} (x^2 - 2,5x) < -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{8} (x^2 - 4x + 3) < 1$

Решение данного логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства.

1. Найдем ОДЗ.
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x^2 - 4x + 3 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется на интервалах левее и правее корней.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

2. Решим неравенство.
Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{8} 8$.
$\log_{8} (x^2 - 4x + 3) < \log_{8} 8$
Так как основание логарифма $8 > 1$, функция является возрастающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 4x + 3 < 8$
$x^2 - 4x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - 4x - 5$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (-1; 5)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Нужно найти пересечение множеств $(-\infty; 1) \cup (3; \infty)$ и $(-1; 5)$.
Пересекая $(-1; 5)$ с $(-\infty; 1)$, получаем $(-1; 1)$.
Пересекая $(-1; 5)$ с $(3; \infty)$, получаем $(3; 5)$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (3; 5)$.

2) $\log_{6} (x^2 - 3x + 2) \ge 1$

1. Найдем ОДЗ.
$x^2 - 3x + 2 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

2. Решим неравенство.
$1 = \log_{6} 6$
$\log_{6} (x^2 - 3x + 2) \ge \log_{6} 6$
Основание $6 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 3x + 2 \ge 6$
$x^2 - 3x - 4 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.
Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[4; \infty)$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; \infty)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Пересекаем множества $(-\infty; 1) \cup (2; \infty)$ и $(-\infty; -1] \cup [4; \infty)$.
Пересечение $(-\infty; 1)$ и $(-\infty; -1]$ дает $(-\infty; -1]$.
Пересечение $(2; \infty)$ и $[4; \infty)$ дает $[4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; \infty)$.

3) $\log_{3} (x^2 + 2x) > 1$

1. Найдем ОДЗ.
$x^2 + 2x > 0$
$x(x + 2) > 0$
Корни $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.
Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; \infty)$.

2. Решим неравенство.
$1 = \log_{3} 3$
$\log_{3} (x^2 + 2x) > \log_{3} 3$
Основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 2x > 3$
$x^2 + 2x - 3 > 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Пересекаем множества $(-\infty; -2) \cup (0; \infty)$ и $(-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.
Пересечение $(-\infty; -2)$ и $(-\infty; -3)$ дает $(-\infty; -3)$.
Пересечение $(0; \infty)$ и $(1; \infty)$ дает $(1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

4) $\log_{2/3} (x^2 - 2,5x) < -1$

1. Найдем ОДЗ.
$x^2 - 2,5x > 0$
$x(x - 2,5) > 0$
Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 2,5$.
Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2,5; \infty)$.

2. Решим неравенство.
Представим правую часть: $-1 = \log_{2/3} (2/3)^{-1} = \log_{2/3} (3/2)$.
$\log_{2/3} (x^2 - 2,5x) < \log_{2/3} (3/2)$
Так как основание логарифма $0 < 2/3 < 1$, функция является убывающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 2,5x > 3/2$
$x^2 - 2,5x - 1,5 > 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $2x^2 - 5x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$.
$x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Парабола ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; \infty)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Пересекаем множества $(-\infty; 0) \cup (2,5; \infty)$ и $(-\infty; -0,5) \cup (3; \infty)$.
Пересечение $(-\infty; 0)$ и $(-\infty; -0,5)$ дает $(-\infty; -0,5)$.
Пересечение $(2,5; \infty)$ и $(3; \infty)$ дает $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; \infty)$.