Номер 364, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 20. Логарифмические неравенства - номер 364, страница 112.

Условие.

364 1) $\log^2_{0,2} x - 5 \log_{0,2} x < -6;$

2) $\log^2_{0,1} x + 3 \log_{0,1} x > 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{0.2}^2 x - 5 \log_{0.2} x < -6$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\log_{0.2}^2 x - 5 \log_{0.2} x + 6 < 0$

Это квадратное неравенство относительно $\log_{0.2} x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.2} x$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 5$

$t_1 \cdot t_2 = 6$

Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 5t + 6 < 0$ выполняется между корнями:

$2 < t < 3$

Выполним обратную замену:

$2 < \log_{0.2} x < 3$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \log_{0.2} x > 2 \\ \log_{0.2} x < 3 \end{cases}$

Так как основание логарифма $0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенств меняются на противоположные:

$\begin{cases} x < (0.2)^2 \\ x > (0.2)^3 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0.04 \\ x > 0.008 \end{cases}$

Получаем решение: $0.008 < x < 0.04$.

Данный интервал удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.008; 0.04)$.

2) $\log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x > 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x - 4 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.1} x$.

$t^2 + 3t - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$.

По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Отсюда $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.

Парабола $y = t^2 + 3t - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 3t - 4 > 0$ выполняется за пределами корней:

$t < -4$ или $t > 1$.

Это соответствует совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{array}{l} \log_{0.1} x < -4 \\ \log_{0.1} x > 1 \end{array} \right.$

Основание логарифма $0.1 < 1$, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенств меняются на противоположные:

$\left[ \begin{array}{l} x > (0.1)^{-4} \\ x < (0.1)^1 \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} x > (\frac{1}{10})^{-4} \\ x < 0.1 \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} x > 10^4 \\ x < 0.1 \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} x > 10000 \\ x < 0.1 \end{array} \right.$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала:

$x \in (0; 0.1)$ и $x \in (10000; +\infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(0; 0.1) \cup (10000; +\infty)$.