Номер 368, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 368, страница 113.

Условие.

368 1) $log_{15} 225;$

2) $log_4 256;$

3) $log_3 \frac{1}{243};$

4) $log_7 \frac{1}{343}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $ \log_{15} 225 $, нам нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 15, чтобы получить число 225. Обозначим искомое значение за $x$. Тогда по определению логарифма: $ \log_{15} 225 = x $, что эквивалентно $ 15^x = 225 $.
Мы знаем, что $ 15^2 = 15 \times 15 = 225 $.
Следовательно, $ x = 2 $.
Ответ: 2

2) Найдем значение выражения $ \log_{4} 256 $. Для этого определим, в какую степень нужно возвести основание 4, чтобы получить 256. Пусть $ \log_{4} 256 = x $. Это означает, что $ 4^x = 256 $.
Вычислим степени числа 4: $ 4^1 = 4 $, $ 4^2 = 16 $, $ 4^3 = 64 $, $ 4^4 = 256 $.
Таким образом, мы видим, что $ x = 4 $.
Ответ: 4

3) Для вычисления $ \log_{3} \frac{1}{243} $ найдем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $ 3^x = \frac{1}{243} $.
Сначала представим 243 как степень числа 3: $ 3^1 = 3 $, $ 3^2 = 9 $, $ 3^3 = 27 $, $ 3^4 = 81 $, $ 3^5 = 243 $.
Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
Следовательно, $ \frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5} $.
Получаем уравнение $ 3^x = 3^{-5} $, откуда $ x = -5 $.
Ответ: -5

4) Чтобы вычислить $ \log_{7} \frac{1}{343} $, нужно найти степень $x$, в которую следует возвести 7, чтобы получить $ \frac{1}{343} $. То есть, $ 7^x = \frac{1}{343} $.
Найдем степень семерки, равную 343: $ 7^1 = 7 $, $ 7^2 = 49 $, $ 7^3 = 343 $.
Используя свойство отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, мы можем записать: $ \frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3} $.
Из уравнения $ 7^x = 7^{-3} $ следует, что $ x = -3 $.
Ответ: -3