Номер 372, страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 372, страница 113.

Условие.

372 1) $4 \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 - 2 \log_{\frac{1}{2}} 6;$

2) $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов:
- Свойство степени логарифма: $n \log_a b = \log_a b^n$
- Свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$

Исходное выражение: $4 \log_{\frac{1}{2}} 3 - \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 - 2 \log_{\frac{1}{2}} 6$

Применим свойство степени логарифма к каждому слагаемому, чтобы внести коэффициенты под знак логарифма:
$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} 3^4 = \log_{\frac{1}{2}} 81$
$\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 = \log_{\frac{1}{2}} 27^{\frac{2}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} (\sqrt[3]{27})^2 = \log_{\frac{1}{2}} 3^2 = \log_{\frac{1}{2}} 9$
$2 \log_{\frac{1}{2}} 6 = \log_{\frac{1}{2}} 6^2 = \log_{\frac{1}{2}} 36$

Подставим полученные значения обратно в выражение:
$\log_{\frac{1}{2}} 81 - \log_{\frac{1}{2}} 9 - \log_{\frac{1}{2}} 36$

Теперь применим свойство разности логарифмов, объединив все члены:
$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{81}{9 \cdot 36} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{9}{36} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$

Вычислим полученный логарифм. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = x$. Тогда по определению логарифма:
$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4}$
Поскольку $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$, то:
$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2$
$x = 2$

Ответ: 2

2) В данном выражении используется десятичный логарифм (lg), то есть логарифм по основанию 10. Будем использовать свойство $\log_a a^b = b$.

Исходное выражение: $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}$

Сначала упростим аргументы логарифмов, представив их в виде степеней числа 10:
$0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$
$\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10^1 = 10$
$\sqrt{10000} = \sqrt{10^4} = 10^2 = 100$

Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2}{3} \lg(10^{-3}) + \lg(10^1) - \frac{3}{5} \lg(10^2)$

Теперь вычислим значения логарифмов:
$\lg(10^{-3}) = -3$
$\lg(10^1) = 1$
$\lg(10^2) = 2$

Подставим вычисленные значения логарифмов в выражение и найдем результат:
$\frac{2}{3} \cdot (-3) + 1 - \frac{3}{5} \cdot 2 = -2 + 1 - \frac{6}{5} = -1 - \frac{6}{5} = -\frac{5}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{11}{5}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби: $-\frac{11}{5} = -2,2$.

Ответ: $-\frac{11}{5}$