Номер 379, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 379, страница 114.

Условие.

379 1) $ \lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1; $

2) $ \log_3 (2x^2 + x) = \log_3 6 - \log_3 2; $

3) $ \lg^2 x - 3 \lg x = 4; $

4) $ \log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \lg(x^2 - 2x) = \lg 30 - 1 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ x^2 - 2x > 0 $
$ x(x - 2) > 0 $
Это неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) $.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Представим 1 как десятичный логарифм: $ 1 = \lg 10 $.
$ \lg 30 - 1 = \lg 30 - \lg 10 $
Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) $:
$ \lg 30 - \lg 10 = \lg(\frac{30}{10}) = \lg 3 $

Уравнение принимает вид:
$ \lg(x^2 - 2x) = \lg 3 $
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x^2 - 2x = 3 $
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни уравнения: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ $ x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) $.
$ x_1 = 3 $ принадлежит интервалу $ (2; +\infty) $, значит, это верный корень.
$ x_2 = -1 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; 0) $, значит, это тоже верный корень.

Ответ: -1; 3.

2) $ \log_3(2x^2 + x) = \log_3 6 - \log_3 2 $

ОДЗ: $ 2x^2 + x > 0 $, что равносильно $ x(2x + 1) > 0 $. Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -1/2) \cup (0; +\infty) $.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов:
$ \log_3 6 - \log_3 2 = \log_3(\frac{6}{2}) = \log_3 3 $
Так как $ \log_3 3 = 1 $, уравнение становится:
$ \log_3(2x^2 + x) = 1 $

По определению логарифма:
$ 2x^2 + x = 3^1 $
$ 2x^2 + x - 3 = 0 $
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $.
$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -3/2 $

Проверим корни по ОДЗ $ x \in (-\infty; -1/2) \cup (0; +\infty) $.
$ x_1 = 1 $ принадлежит интервалу $ (0; +\infty) $, корень подходит.
$ x_2 = -3/2 = -1.5 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -1/2) $, корень подходит.

Ответ: -1,5; 1.

3) $ \lg^2 x - 3 \lg x = 4 $

ОДЗ: $ x > 0 $.
Перенесем 4 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ \lg^2 x - 3 \lg x - 4 = 0 $
Сделаем замену переменной: пусть $ t = \lg x $.
$ t^2 - 3t - 4 = 0 $
Решим уравнение для $ t $ по теореме Виета: сумма корней равна 3, а произведение -4. Корни: $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = -1 $.

Теперь вернемся к исходной переменной $ x $.
1) $ \lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000 $
2) $ \lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1 $

Оба корня ($ 10000 $ и $ 0.1 $) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0,1; 10000.

4) $ \log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0 $

ОДЗ: $ x > 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \log_2 x $. Сделаем замену переменной: пусть $ t = \log_2 x $.
Уравнение принимает вид:
$ t^2 - 5t + 6 = 0 $
Решим уравнение для $ t $ по теореме Виета: сумма корней равна 5, а произведение 6. Корни: $ t_1 = 2 $ и $ t_2 = 3 $.

Вернемся к переменной $ x $.
1) $ \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4 $
2) $ \log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8 $

Оба корня ($ 4 $ и $ 8 $) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 4; 8.