Номер 2, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Проверь себя к главе 4 - номер 2, страница 114.

Условие.

2 Построить схематически график функции:

1) $y = \log_{0,2} x$;

2) $y = \log_2 x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) $y = \log_{0.2} x$
Для построения схематического графика функции $y = \log_{0.2} x$ проанализируем ее свойства.
1. Область определения функции: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения $D(y) = (0; +\infty)$.
2. Область значений функции: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Монотонность: Основание логарифма $a = 0.2$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.
4. Асимптота: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, значение $y \to +\infty$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью $Ox$: $y=0 \Rightarrow \log_{0.2} x = 0 \Rightarrow x = 0.2^0 = 1$. Точка пересечения — $(1; 0)$.
- С осью $Oy$: пересечения нет, так как $x > 0$.
6. Контрольные точки: Для более точного построения найдем несколько точек.
- при $x = 0.2$, $y = \log_{0.2} 0.2 = 1$. Точка $(0.2; 1)$.
- при $x = 1$, $y = \log_{0.2} 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
- при $x = 5$, $y = \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5; -1)$.

Описание графика: График представляет собой гладкую кривую, расположенную в первом и четвертом координатных квадрантах. Кривая пересекает ось абсцисс в точке $(1; 0)$. При приближении $x$ к нулю справа, график уходит в бесконечность вверх, асимптотически приближаясь к оси $Oy$. При увеличении $x$, график плавно убывает, уходя в минус бесконечность.

Ответ: Схематический график — это убывающая кривая, проходящая через точки $(0.2; 1)$, $(1; 0)$, $(5; -1)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

2) $y = \log_{2} x$
Для построения схематического графика функции $y = \log_{2} x$ проанализируем ее свойства.
1. Область определения функции: $x > 0$, то есть $D(y) = (0; +\infty)$.
2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Монотонность: Основание логарифма $a = 2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.
4. Асимптота: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, значение $y \to -\infty$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью $Ox$: $y=0 \Rightarrow \log_{2} x = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1$. Точка пересечения — $(1; 0)$.
- С осью $Oy$: пересечения нет.
6. Контрольные точки:
- при $x = 0.5$, $y = \log_{2} 0.5 = \log_{2} (1/2) = -1$. Точка $(0.5; -1)$.
- при $x = 1$, $y = \log_{2} 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
- при $x = 2$, $y = \log_{2} 2 = 1$. Точка $(2; 1)$.
- при $x = 4$, $y = \log_{2} 4 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Описание графика: График представляет собой гладкую кривую, расположенную в первом и четвертом координатных квадрантах. Кривая пересекает ось абсцисс в точке $(1; 0)$. При приближении $x$ к нулю справа, график уходит в бесконечность вниз, асимптотически приближаясь к оси $Oy$. При увеличении $x$, график плавно возрастает, уходя в плюс бесконечность.

Ответ: Схематический график — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(0.5; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.