Номер 382, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 382, страница 114.

Условие.

382 1) $ \log_3 (5 - 4x) < \log_3 (x - 1); $

2) $ \log_{0,3} (2x + 5) \ge \log_{0,3} (x + 1). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_3 (5 - 4x) < \log_3 (x - 1)$

Данное логарифмическое неравенство имеет одинаковое основание $a = 3$ в обеих частях. Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases}5 - 4x > 0 \\x - 1 > 0 \\5 - 4x < x - 1\end{cases}$$

Решим каждое неравенство в системе по отдельности:

1. Из $5 - 4x > 0$ следует, что $5 > 4x$, то есть $x < \frac{5}{4}$.

2. Из $x - 1 > 0$ следует, что $x > 1$.

3. Из $5 - 4x < x - 1$ следует, что $6 < 5x$, то есть $x > \frac{6}{5}$.

Теперь необходимо найти пересечение всех трех условий: $x < \frac{5}{4}$, $x > 1$ и $x > \frac{6}{5}$.

Заметим, что $\frac{6}{5} = 1,2$ и $\frac{5}{4} = 1,25$. Условие $x > 1,2$ является более строгим, чем $x > 1$, поэтому мы ищем значения $x$, удовлетворяющие одновременно $x > 1,2$ и $x < 1,25$.

Пересечением этих интервалов является $(\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$.

Ответ: $x \in (\frac{6}{5}; \frac{5}{4})$.

2) $\log_{0,3} (2x + 5) \geq \log_{0,3} (x + 1)$

Данное логарифмическое неравенство имеет одинаковое основание $a = 0,3$ в обеих частях. Так как основание логарифма $0 < 0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases}2x + 5 > 0 \\x + 1 > 0 \\2x + 5 \leq x + 1\end{cases}$$

Решим каждое неравенство в системе по отдельности:

1. Из $2x + 5 > 0$ следует, что $2x > -5$, то есть $x > -\frac{5}{2}$ или $x > -2,5$.

2. Из $x + 1 > 0$ следует, что $x > -1$.

3. Из $2x + 5 \leq x + 1$ следует, что $2x - x \leq 1 - 5$, то есть $x \leq -4$.

Теперь необходимо найти пересечение всех трех условий: $x > -2,5$, $x > -1$ и $x \leq -4$.

Условие $x > -1$ является более строгим, чем $x > -2,5$. Следовательно, нам нужно найти пересечение множеств $x > -1$ и $x \leq -4$.

Не существует числа, которое было бы одновременно больше $-1$ и меньше либо равно $-4$. Таким образом, система неравенств не имеет решений.

Ответ: решений нет.