Номер 5, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Проверь себя к главе 4 - номер 5, страница 114.

Условие.

5 Решить систему уравнений $\begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 3, \\ x - 2y = 5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 3, \\ x - 2y = 5. \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы натурального логарифма должны быть строго положительными, следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство разности логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$.

$$ \ln\frac{x}{y} = \ln 3 $$

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$$ \frac{x}{y} = 3 $$

Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$ x = 3y $$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $x - 2y = 5$:

$$ (3y) - 2y = 5 $$

Решим полученное уравнение:

$$ y = 5 $$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 5$ в выражение $x = 3y$:

$$ x = 3 \cdot 5 = 15 $$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(15, 5)$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение ОДЗ ($x > 0$, $y > 0$).

$x = 15 > 0$ и $y = 5 > 0$. Решение удовлетворяет области допустимых значений.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему уравнений:

1. Для первого уравнения: $\ln(15) - \ln(5) = \ln(\frac{15}{5}) = \ln(3)$. Равенство $\ln(3) = \ln(3)$ является верным.

2. Для второго уравнения: $15 - 2 \cdot 5 = 15 - 10 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.

Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(15, 5)$.