Номер 1, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Проверь себя к главе 4 - номер 1, страница 114.

Условие.

1 Вычислить:

1) $ \log_5 125; $

2) $ \lg 0,01; $

3) $ 2^{\log_2 3}; $

4) $ 3^{2 \log_3 7}; $

5) $ \log_2 68 - \log_2 17. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) Для вычисления $ \log_{5} 125 $ необходимо найти показатель степени, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число 125. Мы знаем, что $ 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 $. Следовательно, по определению логарифма, $ \log_{5} 125 = 3 $.
Ответ: 3

2) Выражение $ \lg 0,01 $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Нам нужно найти показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 0,01. Представим 0,01 в виде степени числа 10: $ 0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2} $. Таким образом, $ \lg 0,01 = \log_{10} 10^{-2} = -2 $.
Ответ: -2

3) Данное выражение $ 2^{\log_{2} 3} $ является примером основного логарифмического тождества, которое гласит: $ a^{\log_{a} b} = b $. В нашем случае основание степени $ a=2 $ совпадает с основанием логарифма, а число под логарифмом $ b=3 $. Применяя это тождество, получаем: $ 2^{\log_{2} 3} = 3 $.
Ответ: 3

4) Для вычисления выражения $ 3^{2 \log_{3} 7} $ сначала используем свойство логарифма $ n \cdot \log_{a} b = \log_{a} (b^n) $. Преобразуем показатель степени: $ 2 \log_{3} 7 = \log_{3} (7^2) = \log_{3} 49 $. Теперь исходное выражение принимает вид $ 3^{\log_{3} 49} $. Далее, по основному логарифмическому тождеству $ a^{\log_{a} b} = b $, получаем $ 3^{\log_{3} 49} = 49 $.
Ответ: 49

5) Для вычисления разности $ \log_{2} 68 - \log_{2} 17 $ воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} (\frac{b}{c}) $. Применяя это свойство, получаем: $ \log_{2} 68 - \log_{2} 17 = \log_{2} (\frac{68}{17}) $. Вычисляем частное в скобках: $ \frac{68}{17} = 4 $. Таким образом, выражение упрощается до $ \log_{2} 4 $. Так как $ 4 = 2^2 $, то $ \log_{2} 4 = 2 $.
Ответ: 2