Номер 384, страница 114 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 384, страница 114.

Условие.

384 Вычислить:

1) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3 \sqrt[3]{3}}$;

2) $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25 \sqrt[4]{5}}$;

3) $2^{2 - \log_2 5}$;

4) $3.6^{\log_{3.6} 10 + 1}$;

5) $2 \log_5 \sqrt{5} + 3 \log_2 8$;

6) $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[3]{3}}$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 3.
Основание: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
Аргумент: $3\sqrt[3]{3} = 3^1 \cdot 3^{1/3} = 3^{1+\frac{1}{3}} = 3^{4/3}$. Тогда $\frac{1}{3\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{4/3}} = 3^{-4/3}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение: $\log_{3^{1/2}} 3^{-4/3}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{3^{1/2}} 3^{-4/3} = \frac{-4/3}{1/2}\log_3 3 = -\frac{4}{3} \cdot 2 \cdot 1 = -\frac{8}{3}$.
Ответ: $-\frac{8}{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt[4]{5}}$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 5.
Основание: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Аргумент: $25\sqrt[4]{5} = 5^2 \cdot 5^{1/4} = 5^{2 + \frac{1}{4}} = 5^{9/4}$. Тогда $\frac{1}{25\sqrt[4]{5}} = \frac{1}{5^{9/4}} = 5^{-9/4}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение: $\log_{5^{1/2}} 5^{-9/4}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{5^{1/2}} 5^{-9/4} = \frac{-9/4}{1/2}\log_5 5 = -\frac{9}{4} \cdot 2 \cdot 1 = -\frac{9}{2}$.
Ответ: $-\frac{9}{2}$.

3) Для вычисления значения выражения $2^{2-\log_2 5}$ воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$2^{2-\log_2 5} = \frac{2^2}{2^{\log_2 5}}$.
Далее используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$\frac{2^2}{2^{\log_2 5}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

4) Для вычисления значения выражения $3,6^{\log_{3,6} 10 + 1}$ воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3,6^{\log_{3,6} 10 + 1} = 3,6^{\log_{3,6} 10} \cdot 3,6^1$.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3,6^{\log_{3,6} 10} \cdot 3,6^1 = 10 \cdot 3,6 = 36$.
Ответ: $36$.

5) Рассмотрим выражение $2\log_5 \sqrt{5} + 3\log_2 8$. Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2\log_5 \sqrt{5}$. Используя свойство логарифма $k\log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$2\log_5 \sqrt{5} = \log_5 (\sqrt{5})^2 = \log_5 5 = 1$.
Второе слагаемое: $3\log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$.
Тогда $3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
Сложим полученные значения: $1 + 9 = 10$.
Ответ: $10$.

6) Выражение $\log_2 \log_2 \log_2 2^{16}$ является вложенным логарифмом. Вычисления будем производить изнутри наружу.
Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_2 2^{16}$. По свойству $\log_a a^b = b$ получаем:
$\log_2 2^{16} = 16$.
Теперь выражение имеет вид: $\log_2 \log_2 16$.
Далее вычисляем $\log_2 16$. Так как $16 = 2^4$, то:
$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.
Остается вычислить внешний логарифм: $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то:
$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.
Ответ: $2$.