Номер 390, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 390, страница 115.

Условие.

Решить уравнение (390—395).

390

1) $3^{4x} = 10$; 2) $2^{3x} = 3$; 3) $1,3^{3x - 2} = 3$; 4) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5+4x} = 1,5$;

5) $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0$; 6) $25^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $3^{4x} = 10$.
Для нахождения $x$ прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3. Это возможно, так как обе части положительны.
$log_3(3^{4x}) = log_3(10)$
Используя основное свойство логарифма $log_a(a^b) = b$, упростим левую часть:
$4x = log_3(10)$
Теперь разделим обе части на 4, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{log_3(10)}{4}$
Ответ: $x = \frac{log_3(10)}{4}$.

2) Дано уравнение $2^{3x} = 3$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$log_2(2^{3x}) = log_2(3)$
Применяя свойство логарифма, получаем:
$3x = log_2(3)$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{log_2(3)}{3}$
Ответ: $x = \frac{log_2(3)}{3}$.

3) Дано уравнение $1.3^{3x-2} = 3$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 1,3:
$log_{1.3}(1.3^{3x-2}) = log_{1.3}(3)$
Упростим левую часть:
$3x - 2 = log_{1.3}(3)$
Перенесем -2 в правую часть уравнения, изменив знак:
$3x = 2 + log_{1.3}(3)$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{2 + log_{1.3}(3)}{3}$
Ответ: $x = \frac{2 + log_{1.3}(3)}{3}$.

4) Дано уравнение $(\frac{1}{3})^{5+4x} = 1.5$.
Преобразуем уравнение, представив $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$ и $1.5$ как $\frac{3}{2}$:
$(3^{-1})^{5+4x} = \frac{3}{2}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$3^{-(5+4x)} = \frac{3}{2}$
$3^{-5-4x} = \frac{3}{2}$
Прологарифмируем обе части по основанию 3:
$log_3(3^{-5-4x}) = log_3(\frac{3}{2})$
$-5-4x = log_3(3) - log_3(2)$
$-5-4x = 1 - log_3(2)$
Перенесем -5 в правую часть:
$-4x = 5 + 1 - log_3(2)$
$-4x = 6 - log_3(2)$
Разделим обе части на -4:
$x = \frac{6 - log_3(2)}{-4} = \frac{-(log_3(2) - 6)}{4} = \frac{log_3(2) - 6}{4}$
Ответ: $x = \frac{log_3(2) - 6}{4}$.

5) Дано уравнение $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0$.
Заметим, что $16 = 4^2$, поэтому $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$. Также $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot 4^x$.
Подставим это в уравнение:
$(4^x)^2 - 4 \cdot 4^x - 14 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $4^x$. Сделаем замену: пусть $t = 4^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 4t - 14 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 16 + 56 = 72$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 3\sqrt{2}$.
Получаем два корня: $t_1 = 2 + 3\sqrt{2}$ и $t_2 = 2 - 3\sqrt{2}$.
Проверим условие $t>0$.
$t_1 = 2 + 3\sqrt{2}$ — очевидно, положительный корень.
$t_2 = 2 - 3\sqrt{2}$. Так как $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $2 - 3\sqrt{2} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t>0$.
Следовательно, подходит только $t = 2 + 3\sqrt{2}$.
Вернемся к замене $4^x = t$:
$4^x = 2 + 3\sqrt{2}$.
Прологарифмируем по основанию 4:
$x = log_4(2 + 3\sqrt{2})$.
Ответ: $x = log_4(2 + 3\sqrt{2})$.

6) Дано уравнение $25^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$.
Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.
Подставим это в уравнение:
$(5^x)^2 + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$.
Сделаем замену: пусть $y = 5^x$. Условие: $y > 0$.
Получим квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 15 = 0$.
Решим его по теореме Виета: произведение корней равно -15, а их сумма равна -2. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.
Проверим условие $y>0$.
$y_1 = 3$ подходит, так как $3 > 0$.
$y_2 = -5$ не подходит, так как $-5 < 0$.
Остается один корень $y=3$.
Вернемся к замене $5^x = y$:
$5^x = 3$.
Прологарифмируем по основанию 5:
$x = log_5(3)$.
Ответ: $x = log_5(3)$.