Номер 392, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 392, страница 115.

Условие.

392 1) $log_3 (2 - x^2) - log_3 (-x) = 0;$

2) $log_5 (x^2 - 12) - log_5 (-x) = 0;$

3) $log_2 \sqrt{x-3} + log_2 \sqrt{3x-7} = 2;$

4) $lg (x+6) - lg \sqrt{2x-3} = lg 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_3(2-x^2) - \log_3(-x) = 0$

Сначала найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$\begin{cases} 2 - x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 < 2 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x < 0 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\sqrt{2}; 0)$.

Теперь решим уравнение. Перенесем один из логарифмов в правую часть:
$\log_3(2-x^2) = \log_3(-x)$
Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$2 - x^2 = -x$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \in (-\sqrt{2}; 0)$).
Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как $2 > 0$.
Корень $x_2 = -1$ входит в ОДЗ, так как $-\sqrt{2} < -1 < 0$.

Ответ: -1

2) $\log_5(x^2 - 12) - \log_5(-x) = 0$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 12 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 > 12 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -\sqrt{12} \text{ или } x > \sqrt{12} \\ x < 0 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < -\sqrt{12}$ (т.е. $x < -2\sqrt{3}$).

Решаем уравнение:
$\log_5(x^2 - 12) = \log_5(-x)$
$x^2 - 12 = -x$
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < -2\sqrt{3}$). Заметим, что $2\sqrt{3} = \sqrt{12} \approx 3.46$.
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $3 > -2\sqrt{3}$.
Корень $x_2 = -4$ входит в ОДЗ, так как $-4 < -2\sqrt{3}$.

Ответ: -4

3) $\log_2 \sqrt{x-3} + \log_2 \sqrt{3x-7} = 2$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнем (и, следовательно, аргументы логарифма) должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x-3 > 0 \\ 3x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > \frac{7}{3} \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2 (\sqrt{x-3} \cdot \sqrt{3x-7}) = 2$
$\log_2 \sqrt{(x-3)(3x-7)} = 2$
По определению логарифма:
$\sqrt{(x-3)(3x-7)} = 2^2$
$\sqrt{(x-3)(3x-7)} = 4$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x-3)(3x-7) = 16$
$3x^2 - 7x - 9x + 21 = 16$
$3x^2 - 16x + 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).
Корень $x_1 = 5$ входит в ОДЗ, так как $5 > 3$.
Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, так как $\frac{1}{3} < 3$.

Ответ: 5

4) $\lg(x+6) - \lg\sqrt{2x-3} = \lg 4$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+6 > 0 \\ 2x-3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -6 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{3}{2}$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:
$\lg\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}} = \lg 4$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}} = 4$
$x+6 = 4\sqrt{2x-3}$
В ОДЗ ($x > 1.5$) левая часть уравнения $x+6$ всегда положительна, поэтому можно без опасений возвести обе части в квадрат:
$(x+6)^2 = (4\sqrt{2x-3})^2$
$x^2 + 12x + 36 = 16(2x-3)$
$x^2 + 12x + 36 = 32x - 48$
$x^2 - 20x + 84 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64 = 8^2$
$x_1 = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1.5$).
Корень $x_1 = 14$ входит в ОДЗ, так как $14 > 1.5$.
Корень $x_2 = 6$ входит в ОДЗ, так как $6 > 1.5$.
Оба корня подходят.

Ответ: 6; 14