Номер 393, страница 115 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 393, страница 115.

Условие.

393 1) $\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_4 x + \log_8 x = 13;$

2) $\log_{0.5} (x + 2) - \log_2 (x - 3) = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} (-4x - 8).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_4 x + \log_8 x = 13$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным является основание 2, так как $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $4 = 2^2$, и $8 = 2^3$. Воспользуемся формулой смены основания в виде $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем каждый член уравнения:

$\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_2 x = 2 \log_2 x$

$4 \log_4 x = 4 \log_{2^2} x = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = 2 \log_2 x$

$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$

Теперь подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$2 \log_2 x + 2 \log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 13$

Сложим коэффициенты при $\log_2 x$:

$(2 + 2 + \frac{1}{3}) \log_2 x = 13$

$(4 + \frac{1}{3}) \log_2 x = 13$

$(\frac{12}{3} + \frac{1}{3}) \log_2 x = 13$

$\frac{13}{3} \log_2 x = 13$

Чтобы найти $\log_2 x$, разделим обе части уравнения на $\frac{13}{3}$:

$\log_2 x = 13 \cdot \frac{3}{13}$

$\log_2 x = 3$

Из определения логарифма находим $x$:

$x = 2^3 = 8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x > 0$ выполняется, так как $8 > 0$.

Ответ: $8$.

2) $\log_{0,5} (x + 2) - \log_2 (x - 3) = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} (-4x - 8)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Все выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ -4x - 8 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

1. $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

2. $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

3. $-4x - 8 > 0 \Rightarrow -4x > 8 \Rightarrow x < -2$

Мы получили систему условий:

$\begin{cases} x > -2 \\ x > 3 \\ x < -2 \end{cases}$

Условия $x > 3$ и $x < -2$ являются взаимоисключающими. Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 3 и меньше -2. Следовательно, система неравенств не имеет решений.

Поскольку область допустимых значений является пустым множеством, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.