Номер 400, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 400, страница 116.

Условие.

400 Построить график функции:

1) $y = \frac{1}{\log_2 x}$;

2) $y = \frac{1}{\ln x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{1}{\log_2 x}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, если выполнены два условия:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_2 x \neq 0$, что означает $x \neq 2^0$, то есть $x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Асимптоты и поведение на границах области определения.

Вертикальная асимптота: Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва $x=1$.

• При $x \to 1^+$ (справа от 1), $\log_2 x \to 0^+$, следовательно, $y = \frac{1}{\log_2 x} \to +\infty$.
• При $x \to 1^-$ (слева от 1), $\log_2 x \to 0^-$, следовательно, $y = \frac{1}{\log_2 x} \to -\infty$.

Прямая $x = 1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$.

• При $x \to +\infty$, $\log_2 x \to +\infty$, следовательно, $y = \frac{1}{\log_2 x} \to 0^+$.

Прямая $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Поведение при $x \to 0^+$:

• При $x \to 0^+$, $\log_2 x \to -\infty$, следовательно, $y = \frac{1}{\log_2 x} \to 0^-$. График приближается к точке $(0, 0)$ из отрицательной области значений $y$.

3. Монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную функции. Для удобства вычислений перейдем к натуральному логарифму, используя формулу $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$:

$y = \frac{1}{\log_2 x} = \frac{1}{\frac{\ln x}{\ln 2}} = \frac{\ln 2}{\ln x}$.

$y' = \left(\frac{\ln 2}{\ln x}\right)' = \ln 2 \cdot \left((\ln x)^{-1}\right)' = \ln 2 \cdot (-1) \cdot (\ln x)^{-2} \cdot (\ln x)' = -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}$.

В области определения $x > 0$ и $(\ln x)^2 > 0$. Поскольку $\ln 2 > 0$, то $y' < 0$ при всех $x$ из $D(y)$.

Следовательно, функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Экстремумов у функции нет.

4. Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(-\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\right)' = -\ln 2 \left( (x(\ln x)^2)^{-1} \right)' = -\ln 2 \cdot (-1)(x(\ln x)^2)^{-2} \cdot (x(\ln x)^2)'$.

$(x(\ln x)^2)' = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = \ln x (\ln x + 2)$.

$y'' = \frac{\ln 2 \cdot \ln x (\ln x + 2)}{(x(\ln x)^2)^2} = \frac{\ln 2 \cdot (\ln x + 2)}{x^2(\ln x)^3}$.

Знак $y''$ определяется знаком дроби $\frac{\ln x + 2}{(\ln x)^3}$.

• $y'' = 0$ при $\ln x + 2 = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2} \approx 0.135$.
• При $x \in (0, e^{-2})$, $\ln x < -2$, тогда $\ln x + 2 < 0$ и $(\ln x)^3 < 0$, следовательно $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (e^{-2}, 1)$, $-2 < \ln x < 0$, тогда $\ln x + 2 > 0$ и $(\ln x)^3 < 0$, следовательно $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
• При $x \in (1, +\infty)$, $\ln x > 0$, тогда $\ln x + 2 > 0$ и $(\ln x)^3 > 0$, следовательно $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).

Точка $x = e^{-2}$ является точкой перегиба. Ордината этой точки: $y(e^{-2}) = \frac{1}{\log_2(e^{-2})} = \frac{1}{-2\log_2 e} = \frac{1}{-2/\ln 2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347$.

Точка перегиба: $(e^{-2}, -\frac{\ln 2}{2})$.

5. Ключевые точки.

• $x = 2 \implies y = \frac{1}{\log_2 2} = 1$. Точка $(2, 1)$.
• $x = 4 \implies y = \frac{1}{\log_2 4} = \frac{1}{2}$. Точка $(4, 0.5)$.
• $x = 1/2 \implies y = \frac{1}{\log_2(1/2)} = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(0.5, -1)$.
• $x = 1/4 \implies y = \frac{1}{\log_2(1/4)} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(0.25, -0.5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{\log_2 x}$ состоит из двух ветвей. Область определения $(0, 1) \cup (1, +\infty)$. Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота ($y \to -\infty$ при $x \to 1^-$; $y \to +\infty$ при $x \to 1^+$). Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. При $x \to 0^+$ график стремится к точке $(0,0)$. Функция убывает на всей области определения. График выпуклый вниз на $(0, e^{-2})$ и $(1, +\infty)$, и выпуклый вверх на $(e^{-2}, 1)$. Точка перегиба $(e^{-2}, -\frac{\ln 2}{2})$. График проходит через точки $(0.5, -1)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$.

---

2) $y = \frac{1}{\ln x}$

Проведем исследование функции, аналогичное предыдущему пункту.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, если:

• $x > 0$.
• $\ln x \neq 0 \implies x \neq e^0 \implies x \neq 1$.

Область определения: $D(y) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Асимптоты и поведение на границах области определения.

Вертикальная асимптота: $x=1$.

• При $x \to 1^+$, $\ln x \to 0^+$, следовательно, $y \to +\infty$.
• При $x \to 1^-$, $\ln x \to 0^-$, следовательно, $y \to -\infty$.

Горизонтальная асимптота: $y=0$ при $x \to +\infty$.

• При $x \to +\infty$, $\ln x \to +\infty$, следовательно, $y \to 0^+$.

Поведение при $x \to 0^+$:

• При $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$, следовательно, $y \to 0^-$. График стремится к $(0, 0)$.

Общий характер асимптотического поведения совпадает с функцией из пункта 1.

3. Монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную:

$y' = \left((\ln x)^{-1}\right)' = -(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x(\ln x)^2}$.

Так как $x>0$ и $(\ln x)^2 > 0$ в области определения, то $y' < 0$. Функция строго убывает на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Экстремумов нет.

4. Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(-\frac{1}{x(\ln x)^2}\right)' = \frac{(x(\ln x)^2)'}{(x(\ln x)^2)^2} = \frac{\ln x(\ln x + 2)}{x^2(\ln x)^4} = \frac{\ln x + 2}{x^2(\ln x)^3}$.

Анализ знака $y''$ полностью аналогичен предыдущему пункту.

• Точка перегиба при $\ln x + 2 = 0 \implies x = e^{-2} \approx 0.135$.
• График выпуклый вниз (вогнутый) при $x \in (0, e^{-2}) \cup (1, +\infty)$.
• График выпуклый вверх (выпуклый) при $x \in (e^{-2}, 1)$.

Ордината точки перегиба: $y(e^{-2}) = \frac{1}{\ln(e^{-2})} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

Точка перегиба: $(e^{-2}, -0.5)$.

5. Ключевые точки.

• $x = e \implies y = \frac{1}{\ln e} = 1$. Точка $(e, 1) \approx (2.718, 1)$.
• $x = e^2 \implies y = \frac{1}{\ln(e^2)} = \frac{1}{2}$. Точка $(e^2, 0.5) \approx (7.389, 0.5)$.
• $x = 1/e \implies y = \frac{1}{\ln(1/e)} = -1$. Точка $(1/e, -1) \approx (0.368, -1)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{\ln x}$ имеет такую же общую форму, как и график $y = \frac{1}{\log_2 x}$. Он состоит из двух ветвей, определенных на $(0, 1) \cup (1, +\infty)$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой ($y \to -\infty$ при $x \to 1^-$, $y \to +\infty$ при $x \to 1^+$). Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. График приближается к точке $(0,0)$ при $x \to 0^+$. Функция убывает на всей области определения. График выпуклый вниз на $(0, e^{-2})$ и $(1, +\infty)$, и выпуклый вверх на $(e^{-2}, 1)$. Точка перегиба $(e^{-2}, -0.5)$. График проходит через точки $(1/e, -1)$ и $(e, 1)$.