Номер 403, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 4. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 403, страница 116.

403 1) $\log_2 (2^x - 5) - \log_2 (2^x - 2) = 2 - x;$

2) $\log_{1 - x} (3 - x) = \log_{3 - x} (1 - x);$

3) $\log_2 (2^x + 1) \cdot \log_2 (2^{x + 1} + 2) = 2;$

4) $\log_{3x + 7} (5x + 3) = 2 - \log_{5x + 3} (3x + 7).$

1) $\log_{2}(2^x - 5) - \log_{2}(2^x - 2) = 2 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2^x - 5 > 0 \\ 2^x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 5 \\ 2^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_{2}5 \\ x > 1 \end{cases}$

Так как $\log_{2}5 > \log_{2}2 = 1$, то общее условие для ОДЗ: $x > \log_{2}5$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c}$:

$\log_{2}\frac{2^x - 5}{2^x - 2} = 2 - x$

По определению логарифма $\log_{a}b = c \iff a^c = b$:

$\frac{2^x - 5}{2^x - 2} = 2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x}$

Введем замену $t = 2^x$. Учитывая ОДЗ, $t = 2^x > 2^{\log_{2}5} = 5$, то есть $t > 5$.

$\frac{t - 5}{t - 2} = \frac{4}{t}$

Решим полученное уравнение:

$t(t - 5) = 4(t - 2)$

$t^2 - 5t = 4t - 8$

$t^2 - 9t + 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 5$.

$t_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 5$.

$t_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 5$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ $x > \log_{2}5$. Так как $3 = \log_2 8$, а $8 > 5$, то $\log_2 8 > \log_2 5$. Корень подходит.

Ответ: $3$

2) $\log_{1-x}(3 - x) = \log_{3-x}(1 - x)$

Найдем ОДЗ. Основания логарифмов должны быть положительными и не равны единице, а аргументы — положительными:

$\begin{cases} 1 - x > 0 \\ 1 - x \neq 1 \\ 3 - x > 0 \\ 3 - x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \neq 0 \\ x < 3 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_{3-x}(1 - x) = \frac{1}{\log_{1-x}(3 - x)}$

Введем замену $y = \log_{1-x}(3 - x)$. Уравнение примет вид:

$y = \frac{1}{y}$

$y^2 = 1 \implies y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $y = 1$

$\log_{1-x}(3 - x) = 1 \implies 3 - x = 1 - x \implies 3 = 1$. Это неверное равенство, решений нет.

Случай 2: $y = -1$

$\log_{1-x}(3 - x) = -1 \implies 3 - x = (1 - x)^{-1} = \frac{1}{1 - x}$

$(3 - x)(1 - x) = 1$

$3 - 3x - x + x^2 = 1$

$x^2 - 4x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

$x_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.41 = 3.41$. Этот корень не входит в ОДЗ.

$x_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.41 = 0.59$. Этот корень входит в интервал $(0, 1)$ и, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$

3) $\log_{2}(2^x + 1) \cdot \log_{2}(2^{x+1} + 2) = 2$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$2^x + 1 > 0$ - это верно для любого $x$, так как $2^x > 0$.

$2^{x+1} + 2 > 0$ - это также верно для любого $x$, так как $2^{x+1} > 0$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Преобразуем второй логарифм:

$\log_{2}(2^{x+1} + 2) = \log_{2}(2 \cdot 2^x + 2) = \log_{2}(2(2^x + 1))$

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получим:

$\log_{2}(2(2^x + 1)) = \log_{2}2 + \log_{2}(2^x + 1) = 1 + \log_{2}(2^x + 1)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_{2}(2^x + 1) \cdot (1 + \log_{2}(2^x + 1)) = 2$

Введем замену $y = \log_{2}(2^x + 1)$.

$y(1 + y) = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $y = 1$

$\log_{2}(2^x + 1) = 1 \implies 2^x + 1 = 2^1 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Случай 2: $y = -2$

$\log_{2}(2^x + 1) = -2 \implies 2^x + 1 = 2^{-2} \implies 2^x + 1 = \frac{1}{4} \implies 2^x = -\frac{3}{4}$.

Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $2^x$ всегда положительна.

Единственный корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$

4) $\log_{3x+7}(5x + 3) = 2 - \log_{5x+3}(3x + 7)$

Найдем ОДЗ. Основания логарифмов должны быть положительными и не равны единице, а аргументы — положительными:

$\begin{cases} 3x + 7 > 0 \\ 3x + 7 \neq 1 \\ 5x + 3 > 0 \\ 5x + 3 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -7/3 \\ x \neq -2 \\ x > -3/5 \\ x \neq -2/5 \end{cases}$

Так как $-3/5 > -7/3$ ($-0.6 > -2.33...$), то общее условие $x > -3/5$. Также $x \neq -2/5$.

ОДЗ: $x \in (-3/5, -2/5) \cup (-2/5, +\infty)$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_{5x+3}(3x + 7) = \frac{1}{\log_{3x+7}(5x + 3)}$

Введем замену $y = \log_{3x+7}(5x + 3)$. Уравнение примет вид:

$y = 2 - \frac{1}{y}$

Умножим обе части на $y$ (при этом $y \neq 0$, что соответствует $5x+3 \neq 1$ или $x \neq -2/5$, которое уже исключено из ОДЗ):

$y^2 = 2y - 1$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y - 1)^2 = 0$

Отсюда $y = 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$\log_{3x+7}(5x + 3) = 1$

По определению логарифма:

$5x + 3 = 3x + 7$

$2x = 4$

$x = 2$

Проверим корень на соответствие ОДЗ $x \in (-3/5, -2/5) \cup (-2/5, +\infty)$.

$x=2$ входит в интервал $(-2/5, +\infty)$, следовательно, является решением.

Ответ: $2$