Номер 403, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 403, страница 116.

Условие.

403 1) $\log_2 (2^x - 5) - \log_2 (2^x - 2) = 2 - x;$

2) $\log_{1 - x} (3 - x) = \log_{3 - x} (1 - x);$

3) $\log_2 (2^x + 1) \cdot \log_2 (2^{x + 1} + 2) = 2;$

4) $\log_{3x + 7} (5x + 3) = 2 - \log_{5x + 3} (3x + 7).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \log_{2}(2^x - 5) - \log_{2}(2^x - 2) = 2 - x $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 2^x - 5 > 0 \\ 2^x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 5 \\ 2^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_{2}5 \\ x > 1 \end{cases} $

Так как $ \log_{2}5 > \log_{2}2 = 1 $, то общее условие для ОДЗ: $ x > \log_{2}5 $.

Воспользуемся свойством разности логарифмов $ \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c} $:

$ \log_{2}\frac{2^x - 5}{2^x - 2} = 2 - x $

По определению логарифма $ \log_{a}b = c \iff a^c = b $:

$ \frac{2^x - 5}{2^x - 2} = 2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x} $

Введем замену $ t = 2^x $. Учитывая ОДЗ, $ t = 2^x > 2^{\log_{2}5} = 5 $, то есть $ t > 5 $.

$ \frac{t - 5}{t - 2} = \frac{4}{t} $

Решим полученное уравнение:

$ t(t - 5) = 4(t - 2) $

$ t^2 - 5t = 4t - 8 $

$ t^2 - 9t + 8 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 8 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 5 $.

$ t_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ 1 > 5 $.

$ t_2 = 8 $ удовлетворяет условию $ 8 > 5 $.

Вернемся к исходной переменной:

$ 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3 $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ $ x > \log_{2}5 $. Так как $ 3 = \log_2 8 $, а $ 8 > 5 $, то $ \log_2 8 > \log_2 5 $. Корень подходит.

Ответ: $ 3 $

2) $ \log_{1-x}(3 - x) = \log_{3-x}(1 - x) $

Найдем ОДЗ. Основания логарифмов должны быть положительными и не равны единице, а аргументы — положительными:

$ \begin{cases} 1 - x > 0 \\ 1 - x \neq 1 \\ 3 - x > 0 \\ 3 - x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \neq 0 \\ x < 3 \\ x \neq 2 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) $.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $:

$ \log_{3-x}(1 - x) = \frac{1}{\log_{1-x}(3 - x)} $

Введем замену $ y = \log_{1-x}(3 - x) $. Уравнение примет вид:

$ y = \frac{1}{y} $

$ y^2 = 1 \implies y = 1 $ или $ y = -1 $.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $ y = 1 $

$ \log_{1-x}(3 - x) = 1 \implies 3 - x = 1 - x \implies 3 = 1 $. Это неверное равенство, решений нет.

Случай 2: $ y = -1 $

$ \log_{1-x}(3 - x) = -1 \implies 3 - x = (1 - x)^{-1} = \frac{1}{1 - x} $

$ (3 - x)(1 - x) = 1 $

$ 3 - 3x - x + x^2 = 1 $

$ x^2 - 4x + 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 $

$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} $

Получаем два корня: $ x_1 = 2 + \sqrt{2} $ и $ x_2 = 2 - \sqrt{2} $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) $.

$ x_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.41 = 3.41 $. Этот корень не входит в ОДЗ.

$ x_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.41 = 0.59 $. Этот корень входит в интервал $ (0, 1) $ и, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2 - \sqrt{2} $

3) $ \log_{2}(2^x + 1) \cdot \log_{2}(2^{x+1} + 2) = 2 $

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ 2^x + 1 > 0 $ - это верно для любого $ x $, так как $ 2^x > 0 $.

$ 2^{x+1} + 2 > 0 $ - это также верно для любого $ x $, так как $ 2^{x+1} > 0 $.

Следовательно, ОДЗ: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Преобразуем второй логарифм:

$ \log_{2}(2^{x+1} + 2) = \log_{2}(2 \cdot 2^x + 2) = \log_{2}(2(2^x + 1)) $

Используя свойство логарифма произведения $ \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c $, получим:

$ \log_{2}(2(2^x + 1)) = \log_{2}2 + \log_{2}(2^x + 1) = 1 + \log_{2}(2^x + 1) $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \log_{2}(2^x + 1) \cdot (1 + \log_{2}(2^x + 1)) = 2 $

Введем замену $ y = \log_{2}(2^x + 1) $.

$ y(1 + y) = 2 $

$ y^2 + y - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни: $ y_1 = 1 $, $ y_2 = -2 $.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $ y = 1 $

$ \log_{2}(2^x + 1) = 1 \implies 2^x + 1 = 2^1 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0 $.

Случай 2: $ y = -2 $

$ \log_{2}(2^x + 1) = -2 \implies 2^x + 1 = 2^{-2} \implies 2^x + 1 = \frac{1}{4} \implies 2^x = -\frac{3}{4} $.

Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $ 2^x $ всегда положительна.

Единственный корень $ x = 0 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 0 $

4) $ \log_{3x+7}(5x + 3) = 2 - \log_{5x+3}(3x + 7) $

Найдем ОДЗ. Основания логарифмов должны быть положительными и не равны единице, а аргументы — положительными:

$ \begin{cases} 3x + 7 > 0 \\ 3x + 7 \neq 1 \\ 5x + 3 > 0 \\ 5x + 3 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -7/3 \\ x \neq -2 \\ x > -3/5 \\ x \neq -2/5 \end{cases} $

Так как $ -3/5 > -7/3 $ ($ -0.6 > -2.33... $), то общее условие $ x > -3/5 $. Также $ x \neq -2/5 $.

ОДЗ: $ x \in (-3/5, -2/5) \cup (-2/5, +\infty) $.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $:

$ \log_{5x+3}(3x + 7) = \frac{1}{\log_{3x+7}(5x + 3)} $

Введем замену $ y = \log_{3x+7}(5x + 3) $. Уравнение примет вид:

$ y = 2 - \frac{1}{y} $

Умножим обе части на $ y $ (при этом $ y \neq 0 $, что соответствует $ 5x+3 \neq 1 $ или $ x \neq -2/5 $, которое уже исключено из ОДЗ):

$ y^2 = 2y - 1 $

$ y^2 - 2y + 1 = 0 $

$ (y - 1)^2 = 0 $

Отсюда $ y = 1 $.

Вернемся к исходной переменной:

$ \log_{3x+7}(5x + 3) = 1 $

По определению логарифма:

$ 5x + 3 = 3x + 7 $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

Проверим корень на соответствие ОДЗ $ x \in (-3/5, -2/5) \cup (-2/5, +\infty) $.

$ x=2 $ входит в интервал $ (-2/5, +\infty) $, следовательно, является решением.

Ответ: $ 2 $