Номер 405, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 405, страница 116.

Условие.

405 Решить уравнение

$\log_2 x \cdot \log_2 (x - 3) + 1 = \log_2 (x^2 - 3x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Для логарифмического уравнения $\log_{2} x \cdot \log_{2} (x - 3) + 1 = \log_{2} (x^{2} - 3x)$ необходимо, чтобы все аргументы логарифмов были строго положительными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 - 3x > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:
1. Из второго неравенства $x - 3 > 0$ следует, что $x > 3$.
2. Если $x > 3$, то первое неравенство $x > 0$ выполняется автоматически.
3. Рассмотрим третье неравенство: $x^2 - 3x > 0$, или $x(x - 3) > 0$. Решением этого неравенства методом интервалов является объединение $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

Пересекая все три условия ($x > 0$, $x > 3$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$), получаем итоговую область допустимых значений: $x > 3$.

Преобразование уравнения

Воспользуемся свойством логарифма произведения $\log_{a}(bc) = \log_{a}b + \log_{a}c$. Преобразуем правую часть уравнения:
$\log_{2} (x^{2} - 3x) = \log_{2} (x(x - 3))$
Поскольку в ОДЗ ($x>3$) оба множителя, $x$ и $(x-3)$, положительны, мы можем разложить логарифм на сумму:
$\log_{2} (x(x - 3)) = \log_{2} x + \log_{2} (x - 3)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$\log_{2} x \cdot \log_{2} (x - 3) + 1 = \log_{2} x + \log_{2} (x - 3)$

Решение уравнения с помощью замены переменных

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $a = \log_{2} x$ и $b = \log_{2} (x - 3)$.
Уравнение примет вид:
$ab + 1 = a + b$

Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим на множители:
$ab - a - b + 1 = 0$
$a(b - 1) - (b - 1) = 0$
$(a - 1)(b - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:
1) $a - 1 = 0 \implies a = 1$
2) $b - 1 = 0 \implies b = 1$

Обратная замена и проверка корней

Теперь выполним обратную замену для каждого случая.
Случай 1: $a = 1$
$\log_{2} x = 1$
$x = 2^1 = 2$
Проверяем этот корень по ОДЗ ($x > 3$). Так как $2 < 3$, корень $x=2$ не входит в ОДЗ и является посторонним.

Случай 2: $b = 1$
$\log_{2} (x - 3) = 1$
$x - 3 = 2^1$
$x - 3 = 2$
$x = 5$
Проверяем этот корень по ОДЗ ($x > 3$). Так как $5 > 3$, корень $x=5$ является решением уравнения.

Ответ: $x=5$.