Номер 404, страница 116 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Упражнения к главе 4 - номер 404, страница 116.

Условие.

404 Решить неравенство:

1) $\log_{1/3}(2^{x+2} - 4^x) \ge -2;$

2) $\log_{1/\sqrt{5}}(6^{x+1} - 36^x) \ge -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} - 4^x) \ge -2 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 2^{x+2} - 4^x > 0 $

Преобразуем выражение, приведя его к одному основанию 2:

$ 2^x \cdot 2^2 - (2^2)^x > 0 $

$ 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 > 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $.

$ 4t - t^2 > 0 $

$ t(4 - t) > 0 $

Решая это квадратное неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $ 0 < t < 4 $.

Вернемся к исходной переменной:

$ 0 < 2^x < 4 $

Неравенство $ 2^x > 0 $ выполняется для всех действительных $ x $. Решим вторую часть двойного неравенства $ 2^x < 4 $:

$ 2^x < 2^2 $

Так как основание степени $ 2 > 1 $, показательная функция возрастает, поэтому $ x < 2 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 2) $.

Теперь решим исходное неравенство. Основание логарифма $ \frac{1}{3} $ находится в интервале $ (0; 1) $, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ 2^{x+2} - 4^x \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $

$ 2^{x+2} - 4^x \le 3^2 $

$ 4 \cdot 2^x - (2^x)^2 \le 9 $

Снова используем замену $ t = 2^x $:

$ 4t - t^2 \le 9 $

$ -t^2 + 4t - 9 \le 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ t^2 - 4t + 9 \ge 0 $

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ t^2 - 4t + 9 $:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 $

Так как дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1 > 0 $, парабола $ y = t^2 - 4t + 9 $ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $ t^2 - 4t + 9 \ge 0 $ выполняется для всех действительных значений $ t $.

Это означает, что решение этого неравенства $ x \in (-\infty; +\infty) $.

Окончательное решение является пересечением найденного решения с ОДЗ:

$ (-\infty; +\infty) \cap (-\infty; 2) = (-\infty; 2) $

Ответ: $ (-\infty; 2) $.

2) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} - 36^x) \ge -2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:

$ 6^{x+1} - 36^x > 0 $

Преобразуем выражение к основанию 6:

$ 6 \cdot 6^x - (6^2)^x > 0 $

$ 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 > 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 6^x $, где $ t > 0 $.

$ 6t - t^2 > 0 $

$ t(6 - t) > 0 $

Решением этого неравенства является интервал $ 0 < t < 6 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ 0 < 6^x < 6 $

Так как $ 6^x > 0 $ для всех $ x $, решаем неравенство $ 6^x < 6^1 $. Поскольку основание $ 6 > 1 $, функция является возрастающей, значит $ x < 1 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) $.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма $ \frac{1}{\sqrt{5}} $ меньше 1 ($ \sqrt{5} \approx 2.23 > 1 $), поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$ 6^{x+1} - 36^x \le \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} $

$ 6^{x+1} - 36^x \le (\sqrt{5})^2 $

$ 6 \cdot 6^x - (6^x)^2 \le 5 $

Используем замену $ t = 6^x $:

$ 6t - t^2 \le 5 $

$ -t^2 + 6t - 5 \le 0 $

$ t^2 - 6t + 5 \ge 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ t^2 - 6t + 5 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 5 $.

Неравенство $ (t-1)(t-5) \ge 0 $ выполняется, когда $ t \le 1 $ или $ t \ge 5 $.

Вернемся к переменной $ x $:

Случай 1: $ t \le 1 \implies 6^x \le 1 \implies 6^x \le 6^0 \implies x \le 0 $.

Случай 2: $ t \ge 5 \implies 6^x \ge 5 \implies x \ge \log_6{5} $.

Объединяя эти два случая, получаем решение $ x \in (-\infty; 0] \cup [\log_6{5}; +\infty) $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (-\infty; 1) $.

Заметим, что $ \log_6{5} < \log_6{6} = 1 $, поэтому значение $ \log_6{5} $ входит в ОДЗ.

Пересечение множества $ (-\infty; 0] \cup [\log_6{5}; +\infty) $ и интервала $ (-\infty; 1) $ дает нам объединение $ (-\infty; 0] \cup [\log_6{5}; 1) $.

Ответ: $ (-\infty; 0] \cup [\log_6{5}; 1) $.