Номер 409, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 21. Радианная мера угла. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 409, страница 120.

409 (Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:

а) равностороннего треугольника;

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;

в) квадрата;

г) правильного шестиугольника.

а) равностороннего треугольника;
Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$. В равностороннем треугольнике все три стороны и все три угла равны. Следовательно, величина каждого угла равна: $180^\circ \div 3 = 60^\circ$.
Для перевода градусов в радианы используется соотношение $180^\circ = \pi$ радиан. Таким образом, угол в $60^\circ$ в радианах будет равен: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Ответ: все углы равны $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;
В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$. Сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку треугольник равнобедренный, то его катеты равны, а углы при основании (гипотенузе) также равны. Значит, каждый из этих углов равен: $90^\circ \div 2 = 45^\circ$.
Таким образом, углы треугольника равны $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$.
Теперь переведем эти значения в радианы:
$90^\circ = 90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
$45^\circ = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4}$ радиан.
Ответ: углы равны $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$ радиан.

в) квадрата;
Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны. Все углы квадрата являются прямыми, то есть каждый из них равен $90^\circ$.
В радианах это значение составляет: $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Ответ: все углы равны $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

г) правильного шестиугольника.
Величину внутреннего угла правильного $n$-угольника можно вычислить по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Для правильного шестиугольника $n=6$. Подставим это значение в формулу: $\alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Теперь переведем $120^\circ$ в радианы: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.
Ответ: все углы равны $120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан.