Номер 415, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 21. Радианная мера угла - номер 415, страница 120.

Условие.

415 Сценарий 1:

Угол, ° 30

Радиус, см 2

Сценарий 2:

Угол, рад $ \frac{\pi}{5} $

Длина дуги, см 2

Сценарий 3:

Радиус, см 10

Длина дуги, см 5

Сценарий 4:

Угол, рад 2

Радиус, см 5

Площадь сектора, см² 50

Сценарий 5:

Длина дуги, см 10

Площадь сектора, см² 25

Сценарий 6:

Площадь сектора, см² 50

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи будем использовать следующие формулы, связывающие угол сектора, его радиус, длину дуги и площадь:

• Связь градусной ($\alpha_{deg}$) и радианной ($\alpha_{rad}$) мер угла: $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$
• Длина дуги ($l$) через радианную меру угла: $l = \alpha_{rad} \cdot R$
• Площадь сектора ($S$) через радианную меру угла: $S = \frac{1}{2} \alpha_{rad} R^2$
• Площадь сектора ($S$) через длину дуги: $S = \frac{1}{2} l R$

Столбец 1

Дано: Угол, ° = $30$, Радиус, см = $2$.

1. Переведем угол из градусов в радианы:
$\alpha_{rad} = 30^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{6}$ рад.

2. Найдем длину дуги:
$l = \alpha_{rad} \cdot R = \frac{\pi}{6} \cdot 2 = \frac{\pi}{3}$ см.

3. Найдем площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{\pi}{3}$ см².

Ответ: Угол, рад: $\frac{\pi}{6}$; Длина дуги, см: $\frac{\pi}{3}$; Площадь сектора, см²: $\frac{\pi}{3}$.

Столбец 2

Дано: Угол, рад = $\frac{\pi}{5}$, Длина дуги, см = $2$.

1. Переведем угол из радиан в градусы:
$\alpha_{deg} = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 36^{\circ}$.

2. Найдем радиус из формулы длины дуги $l = \alpha_{rad} \cdot R$:
$R = \frac{l}{\alpha_{rad}} = \frac{2}{\pi/5} = \frac{10}{\pi}$ см.

3. Найдем площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{10}{\pi} = \frac{10}{\pi}$ см².

Ответ: Угол, °: $36$; Радиус, см: $\frac{10}{\pi}$; Площадь сектора, см²: $\frac{10}{\pi}$.

Столбец 3

Дано: Радиус, см = $10$, Длина дуги, см = $5$.

1. Найдем угол в радианах из формулы длины дуги $l = \alpha_{rad} \cdot R$:
$\alpha_{rad} = \frac{l}{R} = \frac{5}{10} = 0.5$ рад.

2. Переведем угол в градусы:
$\alpha_{deg} = 0.5 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{90^{\circ}}{\pi}$.

3. Найдем площадь сектора:
$S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$ см².

Ответ: Угол, °: $\frac{90}{\pi}$; Угол, рад: $0.5$; Площадь сектора, см²: $25$.

Столбец 4

Дано: Радиус, см = $5$, Площадь сектора, см² = $50$.

1. Найдем длину дуги из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} l R$:
$50 = \frac{1}{2} \cdot l \cdot 5 \Rightarrow l = \frac{50 \cdot 2}{5} = 20$ см.

2. Найдем угол в радианах из формулы длины дуги $l = \alpha_{rad} \cdot R$:
$\alpha_{rad} = \frac{l}{R} = \frac{20}{5} = 4$ рад.

3. Переведем угол в градусы:
$\alpha_{deg} = 4 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{720^{\circ}}{\pi}$.

Ответ: Угол, °: $\frac{720}{\pi}$; Угол, рад: $4$; Длина дуги, см: $20$.

Столбец 5

Дано: Угол, рад = $2$, Площадь сектора, см² = $25$.

1. Переведем угол в градусы:
$\alpha_{deg} = 2 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{360^{\circ}}{\pi}$.

2. Найдем радиус из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} \alpha_{rad} R^2$:
$25 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot R^2 \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5$ см (радиус не может быть отрицательным).

3. Найдем длину дуги:
$l = \alpha_{rad} \cdot R = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: Угол, °: $\frac{360}{\pi}$; Радиус, см: $5$; Длина дуги, см: $10$.

Столбец 6

Дано: Длина дуги, см = $10$, Площадь сектора, см² = $50$.

1. Найдем радиус из формулы площади сектора $S = \frac{1}{2} l R$:
$50 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot R \Rightarrow 50 = 5R \Rightarrow R = 10$ см.

2. Найдем угол в радианах из формулы длины дуги $l = \alpha_{rad} \cdot R$:
$\alpha_{rad} = \frac{l}{R} = \frac{10}{10} = 1$ рад.

3. Переведем угол в градусы:
$\alpha_{deg} = 1 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$.

Ответ: Угол, °: $\frac{180}{\pi}$; Угол, рад: $1$; Радиус, см: $10$.