Номер 420, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 420, страница 125.

Условие.

420 Найти координаты точки, полученной поворотом точки $P (1; 0)$ на угол:

1) $3\pi$;

2) $-\frac{7}{2}\pi$;

3) $-\frac{15}{2}\pi$;

4) $5\pi$;

5) $540^{\circ}$;

6) $810^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Координаты точки, полученной поворотом точки $P(x_0; y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, находятся по формулам:

$x' = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$

$y' = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В данном случае, начальная точка $P$ имеет координаты $(1; 0)$, поэтому $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x' = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y' = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, чтобы найти координаты новой точки, нужно вычислить значения косинуса и синуса для каждого заданного угла.

1) Угол поворота $\alpha = 3\pi$.
Координаты новой точки: $(\cos(3\pi), \sin(3\pi))$.
Поскольку тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$, то $3\pi = 2\pi + \pi$.
$x' = \cos(3\pi) = \cos(2\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$
$y' = \sin(3\pi) = \sin(2\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$
Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

2) Угол поворота $\alpha = -\frac{7\pi}{2}$.
Координаты новой точки: $(\cos(-\frac{7\pi}{2}), \sin(-\frac{7\pi}{2}))$.
Используем свойства четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Представим угол как $-\frac{7\pi}{2} = -4\pi + \frac{\pi}{2}$. Период $2\pi$ можно отбросить ($k \cdot 2\pi$, где $k$ - целое число).
$x' = \cos(-\frac{7\pi}{2}) = \cos(-4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(-\frac{7\pi}{2}) = \sin(-4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

3) Угол поворота $\alpha = -\frac{15\pi}{2}$.
Координаты новой точки: $(\cos(-\frac{15\pi}{2}), \sin(-\frac{15\pi}{2}))$.
Представим угол как $-\frac{15\pi}{2} = -8\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x' = \cos(-\frac{15\pi}{2}) = \cos(-8\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y' = \sin(-\frac{15\pi}{2}) = \sin(-8\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

4) Угол поворота $\alpha = 5\pi$.
Координаты новой точки: $(\cos(5\pi), \sin(5\pi))$.
Представим угол как $5\pi = 4\pi + \pi$.
$x' = \cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$
$y' = \sin(5\pi) = \sin(4\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$
Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

5) Угол поворота $\alpha = 540^\circ$.
Полный оборот составляет $360^\circ$. Представим угол как $540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$.
Координаты новой точки: $(\cos(540^\circ), \sin(540^\circ))$.
$x' = \cos(540^\circ) = \cos(360^\circ + 180^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$
$y' = \sin(540^\circ) = \sin(360^\circ + 180^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$
Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

6) Угол поворота $\alpha = 810^\circ$.
Полный оборот составляет $360^\circ$. Представим угол как $810^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 90^\circ = 720^\circ + 90^\circ$.
Координаты новой точки: $(\cos(810^\circ), \sin(810^\circ))$.
$x' = \cos(810^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$
$y' = \sin(810^\circ) = \sin(2 \cdot 360^\circ + 90^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$
Координаты полученной точки: $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.