Номер 416, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 416, страница 125.

Условие.

416 Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол:

1) $4\pi$;

2) $-\frac{3}{2}\pi$;

3) $-6,5\pi$;

4) $\frac{\pi}{4}$;

5) $\frac{\pi}{3}$;

6) $-45^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Координаты точки $(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $4\pi$. Для угла $\alpha = 4\pi$, координаты точки $(x; y)$ равны $(\cos(4\pi); \sin(4\pi))$. Учитывая, что период тригонометрических функций равен $2\pi$, угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам, то есть он эквивалентен углу $0$. Таким образом, $x = \cos(4\pi) = \cos(0) = 1$ и $y = \sin(4\pi) = \sin(0) = 0$.
Ответ: $(1; 0)$.

2) $-\frac{3\pi}{2}$. Для угла $\alpha = -\frac{3\pi}{2}$, координаты точки $(x; y)$ равны $(\cos(-\frac{3\pi}{2}); \sin(-\frac{3\pi}{2}))$. Используя свойства четности косинуса ($\cos(-z)=\cos(z)$) и нечетности синуса ($\sin(-z)=-\sin(z)$), получаем: $x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $y = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Альтернативно, можно прибавить к углу период $2\pi$: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}$. Тогда $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: $(0; 1)$.

3) $-6,5\pi$. Для угла $\alpha = -6,5\pi = -\frac{13\pi}{2}$, координаты точки $(x; y)$ равны $(\cos(-6,5\pi); \sin(-6,5\pi))$. Используя свойства четности и нечетности функций: $x = \cos(6,5\pi)$ и $y = -\sin(6,5\pi)$. Упростим угол, выделив целое число оборотов: $6,5\pi = 6\pi + 0,5\pi = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность, это эквивалентно углу $\frac{\pi}{2}$. Тогда $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $(0; -1)$.

4) $\frac{\pi}{4}$. Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$, координаты точки $(x; y)$ равны $(\cos(\frac{\pi}{4}); \sin(\frac{\pi}{4}))$. Это табличные значения тригонометрических функций: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5) $\frac{\pi}{3}$. Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$, координаты точки $(x; y)$ равны $(\cos(\frac{\pi}{3}); \sin(\frac{\pi}{3}))$. Это табличные значения: $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

6) $-45^\circ$. Сначала переведем угол из градусов в радианы, используя соотношение $180^\circ = \pi$ радиан. $\alpha = -45^\circ = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4}$ радиан. Теперь найдем координаты точки для угла $\alpha = -\frac{\pi}{4}$: $x = \cos(-\frac{\pi}{4})$ и $y = \sin(-\frac{\pi}{4})$. Используя свойства четности и нечетности: $x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.