Номер 421, страница 125 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 421, страница 125.

Условие.

421 Найти координаты точки, полученной поворотом точки P (1; 0) на угол (k — целое число):

1) $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $;

2) $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k $;

3) $ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $;

4) $ -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти координаты точки, полученной поворотом точки $P(x_0; y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, применяются формулы:

$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$

$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В данном задании исходная точка $P(1; 0)$, следовательно, $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Подставим эти значения в формулы:

$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, координаты новой точки $P'$ равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

Слагаемое $2\pi k$ в формулах для угла означает совершение $k$ полных оборотов, что не меняет итоговое положение точки. Поэтому при вычислениях это слагаемое можно опустить, так как $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$ и $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin(\alpha)$.

1) Угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычисляем координаты новой точки:

$x = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Координаты полученной точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$

2) Угол поворота $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычисляем координаты новой точки:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$

3) Угол поворота $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычисляем координаты новой точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Координаты полученной точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$

4) Угол поворота $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычисляем координаты новой точки:

$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$