Номер 428, страница 126 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 428, страница 126.

Условие.

428 Записать все углы, на которые нужно повернуть точку $P (1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

2) $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

3) $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$

4) $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Поворот точки $P(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ приводит к точке с координатами $(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Следовательно, для каждой заданной точки с координатами $(x; y)$ нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$.

1)

Для точки с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ мы ищем угол $\alpha$, такой что:

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Положительное значение косинуса и отрицательное значение синуса указывают на то, что угол находится в IV четверти. Единственный угол в пределах от $0$ до $2\pi$, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ или, что то же самое, $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.

Чтобы учесть все возможные углы, мы добавляем целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число). Таким образом, общее решение имеет вид:

$\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Для точки с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ мы ищем угол $\alpha$, такой что:

$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отрицательные значения косинуса и синуса указывают на то, что угол находится в III четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Общая формула для всех таких углов:

$\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Для точки с координатами $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ мы ищем угол $\alpha$, такой что:

$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Оба значения отрицательны, следовательно, угол находится в III четверти. Угол, для которого косинус равен $-\frac{1}{2}$, а синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, — это $\alpha = \frac{4\pi}{3}$.

Общая формула для всех таких углов:

$\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Для точки с координатами $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$ мы ищем угол $\alpha$, такой что:

$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$

Оба значения отрицательны, что соответствует углу в III четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, — это $\alpha = \frac{7\pi}{6}$.

Общая формула для всех таких углов:

$\alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.