Номер 425, страница 126 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 22. Поворот точки вокруг начала координат - номер 425, страница 126.

Условие.

425 Найти число x, где $0 \le x < 2\pi$, и натуральное число k, такие, чтобы выполнялось равенство $a = x + 2\pi k$, если:

1) $a = 9,8\pi$;

2) $a = 7 \frac{1}{3}\pi$;

3) $a = \frac{11}{2}\pi$;

4) $a = \frac{17}{3}\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Общая задача состоит в том, чтобы для заданного числа $a$ найти натуральное число $k$ (то есть $k \in \{1, 2, 3, ...\}$) и число $x$ такое, что $0 \le x < 2\pi$, которые удовлетворяют равенству $a = x + 2\pi k$.
Из этого равенства можно выразить $x$: $x = a - 2\pi k$.
Подставив это выражение в неравенство для $x$, получаем:
$0 \le a - 2\pi k < 2\pi$.
Это двойное неравенство позволяет найти подходящее значение $k$ для каждого случая.

1) Дано $a = 9,8\pi$.
Подставим значение $a$ в неравенство $0 \le a - 2\pi k < 2\pi$:
$0 \le 9,8\pi - 2\pi k < 2\pi$
Чтобы найти $k$, разделим все части неравенства на $2\pi$:
$\frac{0}{2\pi} \le \frac{9,8\pi}{2\pi} - \frac{2\pi k}{2\pi} < \frac{2\pi}{2\pi}$
$0 \le 4,9 - k < 1$
Из левой части неравенства ($0 \le 4,9 - k$) следует, что $k \le 4,9$.
Из правой части ($4,9 - k < 1$) следует, что $4,9 - 1 < k$, то есть $3,9 < k$.
Таким образом, мы ищем натуральное число $k$, удовлетворяющее условию $3,9 < k \le 4,9$. Единственное такое число — это $k=4$.
Теперь найдем $x$:
$x = a - 2\pi k = 9,8\pi - 2\pi \cdot 4 = 9,8\pi - 8\pi = 1,8\pi$.
Проверяем, что найденное значение $x$ удовлетворяет условию $0 \le 1,8\pi < 2\pi$, что верно.
Ответ: $x = 1,8\pi, k = 4$.

2) Дано $a = 7\frac{1}{3}\pi$, что равно $a = \frac{22}{3}\pi$.
Подставим это значение в неравенство $0 \le a - 2\pi k < 2\pi$:
$0 \le \frac{22}{3}\pi - 2\pi k < 2\pi$
Разделим все части на $2\pi$:
$0 \le \frac{22/3\pi}{2\pi} - k < 1$
$0 \le \frac{11}{3} - k < 1$
$0 \le 3\frac{2}{3} - k < 1$
Из этого следует, что $k \le 3\frac{2}{3}$ и $k > 3\frac{2}{3} - 1 = 2\frac{2}{3}$.
Мы ищем натуральное число $k$ в интервале $2\frac{2}{3} < k \le 3\frac{2}{3}$. Единственное такое число — $k=3$.
Теперь найдем $x$:
$x = a - 2\pi k = \frac{22}{3}\pi - 2\pi \cdot 3 = \frac{22}{3}\pi - 6\pi = \frac{22\pi - 18\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Проверяем, что $0 \le \frac{4\pi}{3} < 2\pi$, что верно.
Ответ: $x = \frac{4\pi}{3}, k = 3$.

3) Дано $a = \frac{11}{2}\pi = 5,5\pi$.
Подставим $a$ в неравенство $0 \le a - 2\pi k < 2\pi$:
$0 \le 5,5\pi - 2\pi k < 2\pi$
Разделим на $2\pi$:
$0 \le 2,75 - k < 1$
Отсюда получаем, что $k \le 2,75$ и $k > 2,75 - 1 = 1,75$.
Натуральное число $k$, удовлетворяющее условию $1,75 < k \le 2,75$, это $k=2$.
Вычислим $x$:
$x = a - 2\pi k = 5,5\pi - 2\pi \cdot 2 = 5,5\pi - 4\pi = 1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$.
Проверяем, что $0 \le \frac{3\pi}{2} < 2\pi$, что верно.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2}, k = 2$.

4) Дано $a = \frac{17}{3}\pi$.
Подставим $a$ в неравенство $0 \le a - 2\pi k < 2\pi$:
$0 \le \frac{17}{3}\pi - 2\pi k < 2\pi$
Разделим на $2\pi$:
$0 \le \frac{17/3\pi}{2\pi} - k < 1$
$0 \le \frac{17}{6} - k < 1$
$0 \le 2\frac{5}{6} - k < 1$
Отсюда $k \le 2\frac{5}{6}$ и $k > 2\frac{5}{6} - 1 = 1\frac{5}{6}$.
Натуральное число $k$, для которого выполняется $1\frac{5}{6} < k \le 2\frac{5}{6}$, это $k=2$.
Найдем $x$:
$x = a - 2\pi k = \frac{17}{3}\pi - 2\pi \cdot 2 = \frac{17}{3}\pi - 4\pi = \frac{17\pi - 12\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Проверяем, что $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$, что верно.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{3}, k = 2$.