Номер 431, страница 130 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла - номер 431, страница 130.

Условие.

431 Найти значения синуса и косинуса числа β, если:

1) $β = 3π;$

2) $β = 4π;$

3) $β = 3,5π;$

4) $β = \frac{5}{2} π;$

5) $β = πk, k \in \mathbb{Z};$

6) $β = (2k + 1) π, k \in \mathbb{Z}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для $\beta = 3\pi$.
Поскольку период функций синус и косинус равен $2\pi$, мы можем упростить угол, отбросив целое число полных оборотов.
Представим $3\pi$ как $2\pi + \pi$.
$\sin(3\pi) = \sin(2\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos(3\pi) = \cos(2\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: $\sin(3\pi) = 0$, $\cos(3\pi) = -1$.

2) Для $\beta = 4\pi$.
Угол $4\pi$ соответствует двум полным оборотам ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$). Поэтому значения синуса и косинуса будут такими же, как и для угла 0.
$\sin(4\pi) = \sin(0 + 2 \cdot 2\pi) = \sin(0) = 0$.
$\cos(4\pi) = \cos(0 + 2 \cdot 2\pi) = \cos(0) = 1$.
Ответ: $\sin(4\pi) = 0$, $\cos(4\pi) = 1$.

3) Для $\beta = 3,5\pi$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $3,5\pi = \frac{7}{2}\pi$.
Выделим целое число полных оборотов: $\frac{7}{2}\pi = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
$\sin(3,5\pi) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
$\cos(3,5\pi) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Ответ: $\sin(3,5\pi) = -1$, $\cos(3,5\pi) = 0$.

4) Для $\beta = \frac{5}{2}\pi$.
Выделим целое число полных оборотов: $\frac{5}{2}\pi = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
$\sin(\frac{5}{2}\pi) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$\cos(\frac{5}{2}\pi) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: $\sin(\frac{5}{2}\pi) = 1$, $\cos(\frac{5}{2}\pi) = 0$.

5) Для $\beta = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Это общий случай, который зависит от четности целого числа $k$.
Случай 1: $k$ — четное число. Пусть $k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $\beta = 2n\pi$. Этот угол совпадает с углом 0 на единичной окружности.
$\sin(2n\pi) = \sin(0) = 0$.
$\cos(2n\pi) = \cos(0) = 1$.
Случай 2: $k$ — нечетное число. Пусть $k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $\beta = (2n+1)\pi = 2n\pi + \pi$. Этот угол совпадает с углом $\pi$ на единичной окружности.
$\sin((2n+1)\pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos((2n+1)\pi) = \cos(\pi) = -1$.
Обобщая оба случая, получаем: синус всегда равен нулю, а косинус принимает значение 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$. Это можно записать одной формулой $\cos(\pi k) = (-1)^k$.
Ответ: $\sin(\pi k) = 0$, $\cos(\pi k) = (-1)^k$, для $k \in \mathbb{Z}$.

6) Для $\beta = (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Выражение $2k+1$ при любом целом $k$ является нечетным числом. Таким образом, $\beta$ — это нечетное кратное числа $\pi$. Этот случай является частным случаем пункта 5) при нечетном $k$.
$\beta = (2k+1)\pi = 2k\pi + \pi$.
$\sin((2k+1)\pi) = \sin(2k\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
$\cos((2k+1)\pi) = \cos(2k\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Значения не зависят от конкретного значения $k$.
Ответ: $\sin((2k + 1)\pi) = 0$, $\cos((2k + 1)\pi) = -1$, для $k \in \mathbb{Z}$.