Номер 437, страница 131 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла - номер 437, страница 131.

Условие.

437 Найти значение выражения:

1) $2 \sin \alpha + \sqrt{2} \cos \alpha \text{ при } \alpha = \frac{\pi}{4};$

2) $0,5 \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha \text{ при } \alpha = 60^{\circ};$

3) $\sin 3\alpha - \cos 2\alpha \text{ при } \alpha = \frac{\pi}{6};$

4) $\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{3} \text{ при } \alpha = \frac{\pi}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем значение выражения $ 2 \sin \alpha + \sqrt{2} \cos \alpha $ при $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Подставляем значение $ \alpha $ в выражение:
$ 2 \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} $
Мы знаем табличные значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $:
$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем эти значения в выражение и вычисляем:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \sqrt{2} + \frac{2}{2} = \sqrt{2} + 1 $.
Ответ: $ 1 + \sqrt{2} $

2) Найдем значение выражения $ 0,5 \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha $ при $ \alpha = 60^{\circ} $.
Подставляем значение $ \alpha $ в выражение:
$ 0,5 \cos 60^{\circ} - \sqrt{3} \sin 60^{\circ} $
Мы знаем табличные значения синуса и косинуса для угла $ 60^{\circ} $:
$ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $ и $ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем эти значения в выражение, заменив $ 0,5 $ на $ \frac{1}{2} $, и вычисляем:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} - \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = \frac{1-6}{4} = -\frac{5}{4} $.
Ответ: $ -\frac{5}{4} $

3) Найдем значение выражения $ \sin 3\alpha - \cos 2\alpha $ при $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Сначала вычислим значения $ 3\alpha $ и $ 2\alpha $:
$ 3\alpha = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $
$ 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $
Теперь выражение принимает вид $ \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{3} $.
Мы знаем табличные значения: $ \sin \frac{\pi}{2} = 1 $ и $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.
Подставляем и вычисляем:
$ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) Найдем значение выражения $ \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{3} $ при $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.
Сначала вычислим значения $ \frac{\alpha}{2} $ и $ \frac{\alpha}{3} $:
$ \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4} $
$ \frac{\alpha}{3} = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6} $
Теперь выражение принимает вид $ \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{6} $.
Мы знаем табличные значения: $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.
Подставляем и вычисляем:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 + \sqrt{2}}{2} $