Номер 443, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 443, страница 134.

Условие.

443 Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки $P (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{\pi}{2} - \alpha$;

2) $\alpha - \pi$;

3) $\frac{3\pi}{2} - \alpha$;

4) $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

5) $\alpha - \frac{\pi}{2}$;

6) $\pi - \alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что $\alpha$ — это острый угол, соответствующий первой координатной четверти. Нам нужно определить, в какой четверти окажется точка $P(1;0)$ после поворота на указанные углы. Для этого мы найдем, в каком диапазоне будет находиться итоговый угол. Координатные четверти на единичной окружности определяются следующими диапазонами углов: I четверть — от $0$ до $\frac{\pi}{2}$; II четверть — от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$; III четверть — от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$; IV четверть — от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.

1) $\frac{\pi}{2}-\alpha$;

Начнем с исходного неравенства для $\alpha$: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на -1, что приведет к изменению знаков неравенства на противоположные: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Теперь прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + 0$.
В результате получаем: $0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал углов соответствует первой четверти.
Ответ: I четверть.

2) $\alpha - \pi$;

Используем исходное неравенство: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Вычтем $\pi$ из всех частей неравенства: $0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$.
Получаем: $-\pi < \alpha - \pi < -\frac{\pi}{2}$.
Этот интервал углов находится в отрицательной области. Чтобы определить четверть, мы можем найти эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$ (полный оборот), так как это не меняет положение точки на окружности. $-\pi + 2\pi < (\alpha - \pi) + 2\pi < -\frac{\pi}{2} + 2\pi$.
Получаем эквивалентный интервал: $\pi < (\alpha - \pi) + 2\pi < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал углов соответствует третьей четверти.
Ответ: III четверть.

3) $\frac{3\pi}{2}-\alpha$;

Начнем с неравенства для $-\alpha$: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Прибавим $\frac{3\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2} + 0$.
Упростим: $\frac{2\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что равносильно $\pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал углов соответствует третьей четверти.
Ответ: III четверть.

4) $\frac{\pi}{2}+\alpha$;

Используем исходное неравенство: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{\pi}{2} + 0 < \frac{\pi}{2} + \alpha < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$.
Получаем: $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$.
Этот интервал углов соответствует второй четверти.
Ответ: II четверть.

5) $\alpha - \frac{\pi}{2}$;

Используем исходное неравенство: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей: $0 - \frac{\pi}{2} < \alpha - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$.
Получаем: $-\frac{\pi}{2} < \alpha - \frac{\pi}{2} < 0$.
Этот интервал отрицательных углов соответствует четвертой четверти. Углы от $-\frac{\pi}{2}$ до $0$ на единичной окружности занимают ту же дугу, что и углы от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.
Ответ: IV четверть.

6) $\pi - \alpha$?

Начнем с неравенства для $-\alpha$: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Прибавим $\pi$ ко всем частям: $\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi + 0$.
Получаем: $\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$.
Этот интервал углов соответствует второй четверти.
Ответ: II четверть.