Номер 447, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Глава 5. Тригонометрические формулы - номер 447, страница 134.

447 Определить знаки чисел $ \sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha, $ если:

1) $ \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi;$

2) $ \frac{3}{2}\pi < \alpha < \frac{7}{4}\pi;$

3) $ \frac{7}{4}\pi < \alpha < 2\pi;$

4) $ 2\pi < \alpha < 2,5\pi.$

Для определения знаков тригонометрических функций $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ и $\tan \alpha$ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Знаки функций по четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha > 0$.
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$.
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$.
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$.

Знак тангенса также можно определить по формуле $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

1) $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
Угол $\alpha$ находится в интервале от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти синус (координата y на единичной окружности) и косинус (координата x) являются отрицательными. Тангенс, как отношение двух отрицательных чисел, будет положительным.
$\sin \alpha < 0$ (минус)
$\cos \alpha < 0$ (минус)
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > 0$ (плюс)
Ответ: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$, $\tan \alpha > 0$.

2) $\frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4}$
Угол $\alpha$ находится в интервале от $\frac{3\pi}{2}$ до $\frac{7\pi}{4}$. Этот интервал является частью четвертой координатной четверти (которая простирается от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$, а $\frac{7\pi}{4} < 2\pi$). В четвертой четверти синус отрицателен, а косинус положителен. Тангенс, как отношение отрицательного числа к положительному, будет отрицательным.
$\sin \alpha < 0$ (минус)
$\cos \alpha > 0$ (плюс)
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (минус)
Ответ: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$.

3) $\frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi$
Угол $\alpha$ находится в интервале от $\frac{7\pi}{4}$ до $2\pi$. Этот интервал также находится в четвертой координатной четверти. Следовательно, знаки функций будут такими же, как и в предыдущем пункте.
$\sin \alpha < 0$ (минус)
$\cos \alpha > 0$ (плюс)
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (минус)
Ответ: $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha < 0$.

4) $2\pi < \alpha < 2,5\pi$
Тригонометрические функции являются периодическими с периодом $2\pi$. Это означает, что $\sin(\alpha) = \sin(\alpha - 2\pi)$, $\cos(\alpha) = \cos(\alpha - 2\pi)$ и $\tan(\alpha) = \tan(\alpha - 2\pi)$. Вычтем $2\pi$ из неравенства, чтобы найти положение угла на первом обороте единичной окружности:
$2\pi - 2\pi < \alpha - 2\pi < 2,5\pi - 2\pi$
$0 < \alpha - 2\pi < 0,5\pi$
$0 < \alpha' < \frac{\pi}{2}$, где $\alpha' = \alpha - 2\pi$.
Этот интервал соответствует первой координатной четверти. В первой четверти все три тригонометрические функции положительны.
$\sin \alpha > 0$ (плюс)
$\cos \alpha > 0$ (плюс)
$\tan \alpha > 0$ (плюс)
Ответ: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$, $\tan \alpha > 0$.