Номер 451, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 451, страница 134.

Условие.

451 Найти значения углов $\alpha$, заключённых в промежутке от 0 до $2\pi$, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать знаки синуса ($ \sin \alpha $) и косинуса ($ \cos \alpha $) в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Весь промежуток от 0 до $ 2\pi $ можно разделить на четыре четверти:

• I четверть: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. В этой четверти $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $. Знаки одинаковые (оба "+").
• II четверть: $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. В этой четверти $ \sin \alpha > 0 $, а $ \cos \alpha < 0 $. Знаки разные.
• III четверть: $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $. В этой четверти $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $. Знаки одинаковые (оба "-").
• IV четверть: $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $. В этой четверти $ \sin \alpha < 0 $, а $ \cos \alpha > 0 $. Знаки разные.

На границах четвертей (при углах $ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi $) синус или косинус равен нулю. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным, поэтому эти значения углов не входят в искомые промежутки.

совпадают

Знаки синуса и косинуса совпадают, когда они либо оба положительны, либо оба отрицательны.

1. $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $. Это условие выполняется для углов из I координатной четверти, то есть при $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

2. $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $. Это условие выполняется для углов из III координатной четверти, то есть при $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Объединяя эти два интервала, получаем решение для данного случая.

Ответ: знаки синуса и косинуса совпадают при $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}) $.

различны

Знаки синуса и косинуса различны, когда один из них положителен, а другой отрицателен.

1. $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $. Это условие выполняется для углов из II координатной четверти, то есть при $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

2. $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $. Это условие выполняется для углов из IV координатной четверти, то есть при $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Объединяя эти два интервала, получаем решение для данного случая.

Ответ: знаки синуса и косинуса различны при $ \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) $.