Номер 454, страница 135 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса - номер 454, страница 135.

Условие.

454 Решить уравнение:

1) $ \sin (5\pi + x) = 1; $

2) $ \cos (x + 3\pi) = 0; $

3) $ \cos \left(\frac{5}{2} \pi + x\right) = -1; $

4) $ \sin \left(\frac{9}{2} \pi + x\right) = -1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $sin(5\pi + x) = 1$.

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулами приведения. Период функции синус равен $2\pi$, поэтому мы можем отбросить целое число периодов из аргумента: $5\pi = 4\pi + \pi$.

Следовательно, $sin(5\pi + x) = sin(4\pi + \pi + x) = sin(\pi + x)$.

Согласно формуле приведения, $sin(\pi + x) = -sin(x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к уравнению $-sin(x) = 1$, или $sin(x) = -1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) Дано уравнение $cos(x + 3\pi) = 0$.

Используя свойство четности косинуса, $cos(\alpha) = cos(-\alpha)$, и его периодичность (период $2\pi$), упростим аргумент: $cos(x + 3\pi) = cos(3\pi + x)$.

$3\pi = 2\pi + \pi$.

Следовательно, $cos(3\pi + x) = cos(2\pi + \pi + x) = cos(\pi + x)$.

По формуле приведения $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

Уравнение принимает вид $-cos(x) = 0$, что эквивалентно $cos(x) = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

3) Дано уравнение $cos(\frac{5}{2}\pi + x) = -1$.

Упростим аргумент с помощью формул приведения. Представим $\frac{5}{2}\pi$ как $2\pi + \frac{\pi}{2}$.

$cos(\frac{5}{2}\pi + x) = cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = cos(\frac{\pi}{2} + x)$.

По формуле приведения $cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$.

Исходное уравнение сводится к $-sin(x) = -1$, или $sin(x) = 1$.

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

4) Дано уравнение $sin(\frac{9}{2}\pi + x) = -1$.

Упростим аргумент функции. Представим $\frac{9}{2}\pi$ как $4\pi + \frac{\pi}{2}$.

$sin(\frac{9}{2}\pi + x) = sin(4\pi + \frac{\pi}{2} + x) = sin(\frac{\pi}{2} + x)$.

Используя формулу приведения, получаем $sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$.

Таким образом, уравнение принимает вид $cos(x) = -1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.