Номер 460, страница 138 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 460, страница 138.

Условие.

460 Какие значения может принимать:

1) cos $\alpha$, если sin $\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5}$;

2) sin $\alpha$, если cos $\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$;

3) sin $\alpha$, если cos $\alpha = \frac{2}{3}$;

4) cos $\alpha$, если sin $\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения всех пунктов задачи мы будем использовать основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Из него мы можем выразить одну функцию через другую:

$ \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $

$ \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} $

Знак $ \pm $ ставится потому, что для одного и того же значения синуса (кроме $ \pm 1 $) существуют два возможных значения косинуса (положительное и отрицательное), и наоборот. Это соответствует углам, находящимся в разных координатных четвертях.

1) cos α, если sin α = $\frac{2\sqrt{3}}{5}$

Используем формулу $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Подставим известное значение $ \sin \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 3}{25} = 1 - \frac{12}{25} = \frac{25-12}{25} = \frac{13}{25} $

Теперь извлечем квадратный корень:

$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{13}{25}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $.

2) sin α, если cos α = $-\frac{1}{\sqrt{5}}$

Используем формулу $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Подставим известное значение $ \cos \alpha $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5-1}{5} = \frac{4}{5} $

Извлекаем квадратный корень:

$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} $

Можно также избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $: $ \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} $.

Ответ: $ \pm\frac{2}{\sqrt{5}} $.

3) sin α, если cos α = $\frac{2}{3}$

Используем формулу $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Подставим известное значение $ \cos \alpha $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9} $

Извлекаем квадратный корень:

$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $.

4) cos α, если sin α = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Используем формулу $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Подставим известное значение $ \sin \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3} $

Извлекаем квадратный корень:

$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ \pm\sqrt{\frac{2}{3}} $ или $ \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $.