Номер 462, страница 138 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Параграф 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - номер 462, страница 138.

Условие.

462 Пусть $\alpha$ — один из углов прямоугольного треугольника.

Найти $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{2 \sqrt{10}}{11}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Найти cos α

Для нахождения косинуса угла $\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим из этого тождества $\cos^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

По условию, $\alpha$ — это один из углов прямоугольного треугольника. Так как $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} \neq 1$, $\alpha$ не является прямым углом. Следовательно, $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), и его косинус является положительным числом. Поэтому мы берем положительное значение корня:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$

Подставим известное значение $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11}$ в формулу. Сначала возведем синус в квадрат:

$\sin^2 \alpha = \left(\frac{2\sqrt{10}}{11}\right)^2 = \frac{2^2 \cdot (\sqrt{10})^2}{11^2} = \frac{4 \cdot 10}{121} = \frac{40}{121}$

Теперь вычислим $\cos \alpha$:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{40}{121}} = \sqrt{\frac{121}{121} - \frac{40}{121}} = \sqrt{\frac{121 - 40}{121}} = \sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{9}{11}$

Ответ: $\cos \alpha = \frac{9}{11}$.

Найти tg α

Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу:

$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим известное значение $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11}$ и найденное в предыдущем пункте значение $\cos \alpha = \frac{9}{11}$:

$\text{tg } \alpha = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{11}}{\frac{9}{11}}$

Для упрощения этого выражения умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\text{tg } \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} \cdot \frac{11}{9} = \frac{2\sqrt{10}}{9}$

Ответ: $\text{tg } \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{9}$.